[摘 要]文章基于知識本體，將“變式教學(xué)”的教學(xué)模式應(yīng)用在了抽象的高等代數(shù)教學(xué)活動中，結(jié)合幾個典型的教學(xué)案例闡述了概念性變式教學(xué)和過程性變式教學(xué)運用在本課程中的合理性、可行性、高效性以及對培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要性。

[關(guān)鍵詞]知識本體 高等代數(shù) 變式教學(xué) 教學(xué)模式 教學(xué)案例

基金項目：陜西省高等教育教學(xué)改革研究項目（11BY65），陜西省教育科學(xué)研究“十二五”規(guī)劃項目（SGH12354）。

高等代數(shù)課程在數(shù)學(xué)專業(yè)課程中隸屬純粹數(shù)學(xué)的分支，其建立起來的代數(shù)系統(tǒng)是很完善的、應(yīng)用廣泛的，但把握起來卻是難以理解和非常抽象的。如何將這樣一個抽象的理論呈現(xiàn)給學(xué)生，使學(xué)生能夠較容易地接受以達到學(xué)習(xí)的高效性？筆者通過近十年的教學(xué)研究，提出了基于知識本體的“變式教學(xué)”的教學(xué)模式，這種模式大大提高了高等代數(shù)課程的學(xué)習(xí)效率，是一種值得推薦的教學(xué)模式。

所謂“變式教學(xué)”，是指以培養(yǎng)學(xué)生靈活轉(zhuǎn)換、獨立思考能力為目的，在教學(xué)過程中教師精心設(shè)計一些不斷變更問題情境或者改變思維角度，由簡到繁，由易到難的數(shù)學(xué)問題，使事物的非本質(zhì)特征時隱時現(xiàn)，而事物的本質(zhì)特征卻始終保持不變的教學(xué)模式[1]。這樣模式在變換知識表征的同時鍛煉學(xué)生的思維能力，如果說“數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操”，那么數(shù)學(xué)教師就是引領(lǐng)學(xué)生做體操的人。數(shù)學(xué)課堂的創(chuàng)新教學(xué)即變式教學(xué)在培養(yǎng)、操練學(xué)生的創(chuàng)新能力方面起著決定性作用。但我們必須把握一個原則，那就是目標導(dǎo)向應(yīng)放在第一位，“在明確了實際教學(xué)目的的前提下，我們才能明確哪些是知識內(nèi)容的本質(zhì)特征，哪些是非本質(zhì)特征，從而明確什么可以變，什么不可以變”[2]。

變式教學(xué)的研究背景

通過中美數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)知識理解的比較研究，馬立平（Ma,1999)發(fā)現(xiàn)，中國教師強調(diào)對概念進行多角度理解，而美國教師則比較重視操作過程。在教學(xué)中注意提倡多種不同的算法和多種不同理解，被認為是“中國數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要特征”；同時中國的教學(xué)模式呈現(xiàn)一種有層次的推進教學(xué)模式，彭恩霖（Paine,1990)根據(jù)她1986年-1987年對中國教學(xué)的實地研究，把中國教學(xué)法描述為“鑒賞家”模式。這一模式的特征是，課堂在教師言語控制下由淺入深逐層推進。她認為中國課堂教學(xué)用清晰優(yōu)美的語言把知識由淺入深地傳授給學(xué)生，這一過程的展開包含著藝術(shù)的成分；另外通過對東西方數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的比較研究我們發(fā)現(xiàn)中國的教學(xué)一直都在尋找不同的問題解決途徑，上世紀80年代，密歇根大學(xué)斯蒂文森（Stevenson)領(lǐng)導(dǎo)的研究小組對中、日、美三國學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進行了一系列比較研究。發(fā)現(xiàn)來自日本、中國大陸和中國臺灣的學(xué)生數(shù)學(xué)能力遠高于美國學(xué)生。這些研究是基于對800節(jié)小學(xué)數(shù)學(xué)課的課堂觀察，采用系統(tǒng)時間抽樣和敘事觀察的方法。有以下結(jié)論：（1）在東亞課堂中，同一數(shù)學(xué)概念用不同方法表征的實踐普遍比美國課堂多；（2）中日兩國教師通常會在一個抽象概念之后提供一些具體操作的鞏固練習(xí)，美國教師則較少這么做；（3）學(xué)生數(shù)學(xué)思考的質(zhì)量依賴于學(xué)生對問題的反應(yīng)和教師如何提出問題兩個方面。與東亞相比，美國教師不太會采用什么技巧去激發(fā)學(xué)生的建設(shè)性思考和對數(shù)學(xué)的概念性理解。

高等代數(shù)課堂中的變式教學(xué)

基于以上變式教學(xué)研究的背景，我們清楚地看到變式教學(xué)作為一種傳統(tǒng)和經(jīng)典的中國數(shù)學(xué)教學(xué)方式在中國由來已久，外國學(xué)者的變異理論和腳手架理論為中國的變式教學(xué)理論提供了認識論基礎(chǔ)和理論支撐，這種教學(xué)是提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果，減輕學(xué)生負擔(dān)的有效途徑，對它的理解將有助于對中國數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)理解。如何理解變式，如何劃分變式教學(xué)的類型，在很大程度上影響我們對它的理解，顧泠沅對變式教學(xué)進行了系統(tǒng)的實驗研究，提出了“概念性變式”和“過程性變式”兩個核心概念，基于數(shù)學(xué)概念的存在形態(tài)和數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)特征兩方面的考慮在高等代數(shù)的教學(xué)中運用變式教學(xué)的 “概念性—過程性”兩維度分類模式。

1.概念性變式教學(xué)

高等代數(shù)的教學(xué)中對各類問題的研究總是先給出確切的定義，然后從定義出發(fā)，利用嚴密的邏輯推理方法，依次推出性質(zhì)、定理、推論等，從而建立各類問題的一套完整的理論體系，這是邏輯推理的嚴密性的一個具體體現(xiàn)。從這里不難看出，透徹地理解定義對于整章內(nèi)容把握的重要性。例如：在行列式一章的講解中，n階行列式的定義是這一章的難點和重點，概念本身很抽象，我們采取概念性變式的教學(xué)方法，對概念從多角度讓學(xué)生理解，用不完全歸納法讓學(xué)生從二階和三階行列中觀察總結(jié)出一下三個問題：（1）n階行列式有幾項在做代數(shù)和？（2）n階行列式每一項取幾個元素，這些元素都是如何取出來的？（3）每一項前的符合如何確定？通過數(shù)學(xué)歸納法學(xué)生很快能對這三個問題作出正確回答，我們通過改變概念的表征方式，改變概念的外延卻不改變概念的本質(zhì)的方法很快解決了困擾學(xué)生的n階行列式的概念問題。

通過使用“概念性變式”，學(xué)生可以多角度地理解概念，從具體到抽象，從特殊到一般，通過排除背景干擾突出概念的本質(zhì)屬性，闡明概念的內(nèi)涵。這樣，通過概念性變式教學(xué)，幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)和建立本質(zhì)的聯(lián)系，達到了高效學(xué)習(xí)的目的。

2.過程性變式教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)包括兩種類型的活動：一是教陳述性知識（即概念），二是教程序性知識（即過程）。由于程序性知識（問題解決和元認知策略）是動態(tài)的，采取靜止的概念性變式不能促進其學(xué)習(xí)過程。數(shù)學(xué)活動過程的基本特征是層次性，它包含為解決問題而采取的一系列不同步驟和策略。采取過程性變式，學(xué)生能夠解決問題，并形成不同概念之間的層次關(guān)系或獲得多種方法。例如：在講到矩陣的可逆時，我們的《高等代數(shù)》教材[3]中并沒有按照知識的形成過程和學(xué)生的認知規(guī)律來講解，為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的層次性，同時為了讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)的形成過程，我們采用了過程性變式的教學(xué)方法分為三個步驟來講解這部分內(nèi)容：第一步矩陣可逆的定義和性質(zhì)講完后，學(xué)生在感知單位矩陣都是可逆的同時知道不是所有的方陣都可逆，那么自然要問什么樣的方陣是可逆的？這就順理成章地想到第二步矩陣可逆的判定了，當(dāng)知道了什么樣的矩陣可逆時顯然想知道如何求出可逆矩陣了，這就是第三步矩陣可逆的求法了。相對于課本內(nèi)容我們添加了4條矩陣可逆的判定定理[4]后才講到了具體的求法，這樣符合學(xué)生的認知心理。另外為了使學(xué)生建立良好的知識結(jié)構(gòu)，我們在教材的安排上也進行了調(diào)整，在課本線性代數(shù)板塊的教學(xué)中，將矩陣這一章節(jié)放在了線性方程組的前面，充分體現(xiàn)借助于行列式和矩陣兩個工具來解決線性方程組的思想。

通過使用“過程性變式”，學(xué)生可以理解知識的起源以及用什么方法和在什么地方運用它們。這樣可建立良好的知識結(jié)構(gòu)。通過使用這種變式，幫助學(xué)生形成概念，解決問題，構(gòu)建一個活動經(jīng)驗系統(tǒng)，進一步可以幫助學(xué)生理解知識的不同組成部分和完善知識結(jié)構(gòu)。

高等代數(shù)課堂中的變式教學(xué)反思

通過研究我們得出，變式教學(xué)有一定的規(guī)律可循，目標導(dǎo)向應(yīng)該放在第一位，明確在課堂中必須尊重知識本身從基礎(chǔ)問題出發(fā)，遵循一定的方法通過正確的思維方式把概念和過程進行變式，變中求解，解中求變，最終還原問題本質(zhì)，這在很大程度上提高了學(xué)習(xí)效率，是一種高效的學(xué)習(xí)模式。但是通過教學(xué)我們發(fā)現(xiàn)仍存在一些問題需要改進，例如教材中練習(xí)題的安排往往是一例一練的，屬于基本練習(xí)，學(xué)生往往受思維定勢的影響，練習(xí)時模仿例題，思維水平得不到提高，而且教材中的練習(xí)往往是靜態(tài)的，與現(xiàn)實生活聯(lián)系得很少，學(xué)生往往不知道知識該如何應(yīng)用，這就需要我們教師不斷地鉆研教材，挖掘教材中開放性因素，設(shè)計變式練習(xí)。我們計劃在接下來的研究中從知識本身的結(jié)構(gòu)特點出發(fā)，設(shè)計變式練習(xí)，以求通過練習(xí)加強知識之間的相互聯(lián)系，體現(xiàn)知識的系統(tǒng)性和結(jié)構(gòu)性，這樣有利于學(xué)生對知識進行靈活的遷移，有利于完善學(xué)生的認識結(jié)構(gòu)和促進學(xué)生對知識本質(zhì)的理解和掌握。

參考文獻：

[1]張玉成.創(chuàng)造性能量培養(yǎng)與數(shù)學(xué)教學(xué)模式改革[J].深圳教育學(xué)院學(xué)報，1999(01).

[2]戚紹斌.略談變式教學(xué)的若干原則[J].數(shù)學(xué)通報，1996(01).

[3]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1987.

[3]張禾瑞，郝炳新. 高等代數(shù)（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，1999.