勾股定理是現(xiàn)代數(shù)學中的重點問題，同時又是學生感覺比較困難的概念之一。在勾股定理這一章節(jié)的教學過程中，我們發(fā)現(xiàn)學生明顯存在“先驗知識”，而不能解決實際問題，在對定理的認識與實際應用上存在一定的距離。因此，選取勾股定理切入點，探究圖式理論在勾股定理學習中的影響及特征，期望能對勾股定理的教與學提供借鑒。

本實證研究隨機選取東臺市實驗中學、普通中學以及農(nóng)村中學各一所，探究圖式理論在勾股定理概念的教與學中的影響。

一、勾股定理證明圖式的理論構想

勾股定理包含兩個本質屬性——前提條件“直角三角形”和結論“兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”。這其實是一個典型的證明圖式。勾股定理證明圖式的條件和結論之間以系統(tǒng)相互影響，這時所建構的記憶痕跡是高度整合的結構。關于勾股定理在數(shù)學中的應用以及勾股定理在實際問題中的應用等都是這種圖式的具體化。

勾股定理證明圖式處于數(shù)學知識的網(wǎng)絡圖式之中，與其他圖式存在一定的聯(lián)系。僅以勾股定理的證明圖式、勾股定理在數(shù)學問題中的應用圖式、勾股定理在實際問題中的應用圖式和一元二次方程圖式四者為例。（如圖）

圖中的線段表示某種關系。一個典型的實例：勾股定理的學習直接影響勾股定理在數(shù)學中的應用，勾股定理在數(shù)學問題中的應用又直接影響勾股定理在實際問題中的應用，同時一元二次方程圖式中的程序性知識大部分可以移植到勾股定理的圖式中。

二、勾股定理證明圖式的加工機制

1.勾股定理圖式的獲得。獲得勾股定理證明圖式可以通過圖式的形成和圖式的同化兩種形式。圖式的形成：學生要學習幾個勾股定理的例子，這幾個勾股定理的例子要在各槽的值上有所變化，以免學生形成不恰當?shù)膱D式。在呈現(xiàn)勾股定理的兩個屬性時，若兩個屬性中前提條件“直角三角形”和結論“兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”。那么學生就會把條件和結論作為勾股定理的一個常量，而實際上變量名稱只是圖式中的一個變量。為了防止這種傾向，在呈現(xiàn)例子中，不僅有前提條件“直角三角形”和結論“兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”這兩個變量，也有其他的變量，即在變量名稱這一無關特征方面加以變化。學生同時學習這幾個例子，并力求找出其共同之處，最后加以概括，形成圖式。

2.勾股定理圖式的精制。圖式獲得后，首先要進行第一類精制，這時的精制以鞏固為主，即繼續(xù)接觸大量的證明勾股定理的方法和例子，使勾股定理的證明圖式的槽及變量之間的約束關系變得更加鮮明、突出、穩(wěn)固。其次要進行第二類精制，形成新的圖式。在具有了精制圖式的動機后，學生可以在變量槽中嵌入某種勾股定理的證明方法及其應用，從而形成復合圖式。

3.圖式的遷移功能。奧蘇伯爾認為，學習的遷移是通過學生頭腦中形成的認知結構而實現(xiàn)的。因此，他認為促進遷移就是要塑造學生良好的認知結構。而認知結構是我們關于某一領域內的所有觀念的內容及其組織。為此，從某種意義上說，認知結構就是我們所講的圖式。這樣看來，我們能夠在其他情境中運用以前習得的知識關鍵在于我們頭腦中形成了一定的圖式。而圖式貯存的知識具有一定程度的概括性，不是具體某一例子在頭腦中的貯存，易于遷移。勾股定理及其逆定理之間的具體聯(lián)系，可應用于勾股定理在數(shù)學問題和實際應用問題中的學習中去。

三、勾股定理證明圖式的教學心得

首先，圖式是一種高級的學習策略。研究結果表明，在數(shù)學概念學習中，個體圖式學習策略的形成是十分重要的。一方面，它有利于知識的結構化。結構化的知識可被濃縮成框架，組成網(wǎng)絡，容易記憶；另一方面，它能夠優(yōu)化學生的認知結構。被優(yōu)化的認知結構使所存儲的知識都是“產(chǎn)生式”的，知識結點間具有高度組織化、易于激活、便于遷移的特征。在數(shù)學問題解決中，圖式策略使個體探究問題的張力擴大、指向性增強，提高了探索正確解題方案的效率。

其次，圖式是一種高級的教學策略。常規(guī)教學強調以教師為中心，重視陳述性知識和知識的陳述，學生被動甚至機械地接受知識，難以形成框架清晰且富有連動性的認知結構。而圖式教學策略，重視學生完整的知識結構的建構與活化，并因此而消減了因為概念等知識難度增加所帶來的認知障礙。