2014年9月開(kāi)始，人民教育出版社新增修訂小學(xué)數(shù)學(xué)三至六年級(jí)教材，其中對(duì)解決問(wèn)題版塊有較大幅度的改進(jìn)，每一冊(cè)教材都新增了相應(yīng)的解決問(wèn)題內(nèi)容。不管從教材習(xí)題的編排，習(xí)題本身以及習(xí)題教學(xué)要求，都與老版教材有較大的改動(dòng)。縱觀整冊(cè)小學(xué)數(shù)學(xué)新修訂版教材，四年級(jí)解決問(wèn)題不管從習(xí)題內(nèi)容，還是習(xí)題數(shù)量，都明顯少于其他年級(jí)。但四年級(jí)又非常重要，它不僅是學(xué)生整數(shù)運(yùn)算學(xué)習(xí)的重要階段，同時(shí)也為五年級(jí)的方程解決問(wèn)題打下基礎(chǔ)。而現(xiàn)在的教材編排，從某種角度來(lái)說(shuō)，四年級(jí)的解決問(wèn)題教材有一定的斷層，而且也缺少典型類(lèi)型的學(xué)習(xí)與提煉。本文主要研究四年級(jí)兩積之和的解決問(wèn)題，通過(guò)化零為整，幫助學(xué)生跨越斷層；注重?cái)?shù)形結(jié)合，促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)模型，從而幫助學(xué)生提升解決問(wèn)題的能力，為今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

一、四年級(jí)解決問(wèn)題教材分析

（一）內(nèi)容斷層

從整體上來(lái)看，三年級(jí)有關(guān)解決問(wèn)題教學(xué)的內(nèi)容很多，同時(shí)它的定位也比較清晰，有歸一問(wèn)題、歸總問(wèn)題，連乘或連除等。這些模型的教學(xué)，可以幫助學(xué)生更好地理解與遷移，也有利于教師教學(xué)。但四年級(jí)的解決問(wèn)題教學(xué)，只有兩個(gè)常用的模型，運(yùn)用單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)以及速度、時(shí)間和路程，而且計(jì)算也都只需一步。五年級(jí)的解決問(wèn)題教學(xué)，以方程的解決問(wèn)題教學(xué)為主，而方程的主要結(jié)構(gòu)，也以?xún)煞e之和ax+bx=c的結(jié)構(gòu)為主。

斷層一：解決問(wèn)題難度，提升不明顯

三年級(jí)的解決問(wèn)題以?xún)刹接?jì)算為主，比如三年級(jí)上冊(cè)的歸一、歸總問(wèn)題，三年級(jí)下冊(cè)的連乘與連除問(wèn)題等。但到了四年級(jí)的解決問(wèn)題例題，只有簡(jiǎn)單一步關(guān)系的運(yùn)用，比如單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)或者速度、路程和時(shí)間等，缺少?gòu)?fù)雜問(wèn)題的練習(xí)。而到了五年級(jí)，學(xué)生對(duì)于方程問(wèn)題又需要三步計(jì)算，因此四年級(jí)對(duì)于解決問(wèn)題的編排，不管是習(xí)題類(lèi)型，還是解決難度，都有一定的斷層，沒(méi)有給學(xué)生合適的基礎(chǔ)來(lái)適應(yīng)五年級(jí)解決問(wèn)題。

斷層二：解決問(wèn)題模型，沒(méi)有相應(yīng)支持

五年級(jí)的幾個(gè)方程常用模型，都需要建立在兩積之和的基礎(chǔ)之上，但四年級(jí)解決問(wèn)題的教材中，并沒(méi)有兩積之和的專(zhuān)題解決問(wèn)題的教學(xué)。反而在各單元零散會(huì)出現(xiàn)一些習(xí)題。這樣的習(xí)題教學(xué)，肯定不利于學(xué)生去提煉和學(xué)習(xí)，學(xué)生如果對(duì)這種結(jié)構(gòu)不熟練，肯定會(huì)影響其后續(xù)兩積之和方程的學(xué)習(xí)。

（二）分布零散

仔細(xì)分析四年級(jí)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的一些習(xí)題，發(fā)現(xiàn)兩冊(cè)教材中也有一些零散的兩積之和結(jié)構(gòu)的例題或習(xí)題。但由于習(xí)題分散，而且不同的單元都有自己的教學(xué)任務(wù)，不利于學(xué)生去提煉和感悟兩積之和的結(jié)構(gòu)。

比如，人教版四年級(jí)教材第四單元《三位數(shù)乘兩位數(shù)》P50。

學(xué)校要為圖書(shū)館增添兩種新書(shū)，每種買(mǎi)3套。一共要花多少錢(qián)？

在該習(xí)題中，雖然有著兩積之和的模型，但由于教材是需要各買(mǎi)3套，教師比較容易會(huì)把解決問(wèn)題的重點(diǎn)放在運(yùn)算定律的討論，而弱化了其中兩積之和的結(jié)構(gòu)。而且僅有一道習(xí)題的練習(xí)，肯定不利于學(xué)生整體感悟結(jié)構(gòu)。

二、有效的策略

面對(duì)以上這些現(xiàn)象，筆者認(rèn)為教師一定要善于整合教材，基于數(shù)形結(jié)合，多角度、多形式來(lái)幫助學(xué)生跨越斷層，建構(gòu)模型，從而幫助學(xué)生不斷提升解決問(wèn)題的能力，為五六年級(jí)的數(shù)學(xué)解決問(wèn)題學(xué)習(xí)打下扎實(shí)基礎(chǔ)。

（一）化零為整，跨越斷層

化零為整，跨越斷層，主要是教師要整體呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)相同的習(xí)題，通過(guò)比一比，解一解，編一編等多種形式來(lái)幫助學(xué)生掌握解決問(wèn)題的方法，提升解決問(wèn)題的能力。

1.化散為整，整體呈現(xiàn)

在四年級(jí)人教版教材或其他練習(xí)中，有著大量結(jié)構(gòu)相同的習(xí)題，其中也有兩積之和的習(xí)題?；檎枰處熅倪x擇習(xí)題，并把結(jié)構(gòu)相似的習(xí)題進(jìn)行整體呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生在解答、比較與歸納中感悟兩積之和的模型。

例如，上面的四道習(xí)題（如圖一），來(lái)源于配套習(xí)題，并適當(dāng)進(jìn)行了修改。這些習(xí)題都需要利用兩積之和的結(jié)構(gòu)來(lái)解決問(wèn)題。通過(guò)讓學(xué)生集中練習(xí)，有利于學(xué)生提煉與感悟模型。

2.化解為變，整體改編

學(xué)生解決問(wèn)題能力的提升需要建立在大量的習(xí)題練習(xí)之上，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)間非常有限，因此有效提升解決問(wèn)題的能力，就需要把一類(lèi)題型或一種題型練得更透?！盎鉃樽儭本褪且云渲幸坏李}目為素材，通過(guò)條件或問(wèn)題的不斷變化，在變與不變中展開(kāi)練習(xí)，從而提升解決問(wèn)題的能力。

例如，在上題中，當(dāng)我們解決了一題習(xí)題后，要求學(xué)生把其中一個(gè)信息改成問(wèn)題，編出一道題目。學(xué)生通過(guò)編一編，算一算，由于計(jì)算不成問(wèn)題，學(xué)生可以較快解決所有問(wèn)題。因而就給了學(xué)生更多練習(xí)的機(jī)會(huì)，提升了解決問(wèn)題的能力。

3.化變?yōu)槁?lián)，整體遷移

建構(gòu)主義理論認(rèn)為：知識(shí)的學(xué)習(xí)需要建立在學(xué)習(xí)者已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上，因此，教師需要不斷幫助學(xué)生把新知與舊知結(jié)合起來(lái)，形成新的知識(shí)鏈。而化變?yōu)槁?lián)就是幫助學(xué)生在不斷變化中聯(lián)系舊知，從而幫助學(xué)生更好地融合知識(shí)，提升解決問(wèn)題的能力。

通過(guò)變式，教師引出了上題（如圖），其中最大的變化就是去掉了兩種水果的數(shù)量，改成了兩種水果的數(shù)量之和。這樣的變式主要是為了幫助學(xué)生感受到兩積之和的問(wèn)題與雞兔同籠問(wèn)題之間的聯(lián)系，從而幫助學(xué)生深入感悟模型，提升解決問(wèn)題的能力。

（二）數(shù)形結(jié)合，構(gòu)建模型

數(shù)學(xué)模型的建立需要經(jīng)歷多個(gè)階段，筆者認(rèn)為一般需要經(jīng)歷初步感悟、提煉模型、深入感悟、運(yùn)用模型等環(huán)節(jié)。在這些環(huán)節(jié)中，數(shù)形結(jié)合使學(xué)生從模糊到清晰，從陌生到熟練，從學(xué)習(xí)到遷移。借助數(shù)形結(jié)合，可以更好地幫助學(xué)生構(gòu)建模型，提升解決問(wèn)題的效率。

1.情境創(chuàng)設(shè)融入數(shù)與形，初步感悟

在情境創(chuàng)設(shè)引入新課時(shí)，設(shè)計(jì)數(shù)形結(jié)合的習(xí)題，不僅可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也為學(xué)生初步建立數(shù)與形之間的聯(lián)系埋下伏筆。學(xué)生借助圖的直觀，可以初步感悟兩積之和模型。

例如，圖一的四道習(xí)題，教師就呈現(xiàn)了不同類(lèi)型的習(xí)題，其中就有純文字和純圖形的習(xí)題。這樣數(shù)形結(jié)合的情境，可以讓學(xué)生更好地開(kāi)展對(duì)比與交流，可以幫助學(xué)生更好地初步感悟模型。

2.思維關(guān)鍵求聯(lián)數(shù)與形，提煉模型

數(shù)學(xué)模型的提煉需要學(xué)生不斷通過(guò)比較，在不同的情境中尋找相同的關(guān)系。借助圖形的直觀，教師需要引導(dǎo)學(xué)生去溝通形與數(shù)之間的關(guān)系，從而使學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)中的關(guān)系與形的數(shù)量是一樣的，都是利用相同的結(jié)構(gòu)，從而逐漸提煉兩積之和的模型。

例如，在上題的情境中（如上圖），當(dāng)讓學(xué)生來(lái)尋找習(xí)題的相同點(diǎn)時(shí)，大多數(shù)學(xué)生都會(huì)先找到數(shù)與形之間的聯(lián)系，既大長(zhǎng)方形的面積等于蘋(píng)果的總價(jià)，小長(zhǎng)方形的面積等于梨的總價(jià)。教師還可以追問(wèn)：“明明是面積，為什么會(huì)等于總價(jià)呢？”通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生思考與比較，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與蘋(píng)果的單價(jià)和數(shù)量之間的聯(lián)系，從而幫助學(xué)生深入理解兩積之和結(jié)構(gòu)。

3.思路變化凸顯數(shù)與形，深入感悟

為了讓學(xué)生更好地理解模型，運(yùn)用模型，教師還需要不斷變式習(xí)題，從變與不變中去幫助學(xué)生深入感悟模型。而借助數(shù)與形的變式，則可以更直觀呈現(xiàn)不同變式下的相同點(diǎn)，幫助學(xué)生深刻理解模型。

例如，在兩積之和的最后環(huán)節(jié)（如上圖），我們?cè)O(shè)計(jì)了變式練習(xí)，把習(xí)題改成了“李紅買(mǎi)蘋(píng)果和梨共付26元，蘋(píng)果每千克4元，梨每千克2元，兩種水果共買(mǎi)了8千克。買(mǎi)了幾千克蘋(píng)果和幾千克梨？”為了幫助學(xué)生理解，可以把8千克全部看成2元，上面黑色的長(zhǎng)方形就是10元，利用10元去除以?xún)煞N水果的單價(jià)，就可以算出大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是5千克，那么剩下的小長(zhǎng)方形的寬就是3千克。這樣直觀呈現(xiàn)假設(shè)的圖形，可以幫助學(xué)生理解其中的方法，突破難點(diǎn)。

關(guān)注習(xí)題的研究，教師需要更深入了解習(xí)題練習(xí)的目的，不斷通過(guò)整合、對(duì)比、建模等幫助學(xué)生深入學(xué)習(xí)解決問(wèn)題，感悟其中的本質(zhì)，提升解決問(wèn)題的能力。相信，通過(guò)不斷研究一定能較好地促進(jìn)學(xué)生解決問(wèn)題能力的發(fā)展。

作者單位 浙江省杭州市蕭山區(qū)漁浦小學(xué) 浙江省杭州市濱文小學(xué)