史寧中教授在《基本數(shù)學思想18講》一書中說：“生活中的故事要比自然界的故事更加繁雜。造成繁雜的原因往往是一些說不清、道不明的人為因素的干擾。因此，討論生活中的數(shù)學模型要比討論自然界的數(shù)學模型更為困難。即便如此，我們?nèi)匀幌Ｍ懻撋钪械臄?shù)學模型，因為這些模型能夠充分展示數(shù)學是如何成為人們生活中不可缺少的工具?！睌?shù)學建模就有這樣一種魔力，能夠讓課堂中的教師和學生，課堂外的伙伴和隊友感受到數(shù)學模型解釋甚至改造世界的魅力。很多學生在接觸過數(shù)學建模之后，表現(xiàn)出前所未有的學習興趣和動力。那么，數(shù)學建模教學的開展、數(shù)學建模素養(yǎng)的落實和提升是不是一帆風順呢？其實，數(shù)學建模素養(yǎng)在高中階段的提升，無論是對于教師還是學生都不是一件容易的事，到底難在哪里？怎么突破難點？教學中一個“另類回答”給了我很多啟示。

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人教A版數(shù)學必修一在“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”一章中，提供了大量與指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)有關的素材，讓學生進行抽象概括。在函數(shù)的應用中，將實際問題抽象為函數(shù)模型，從而解決實際問題，讓學生充分理解其數(shù)學表達的含義，同時掌握用函數(shù)構建數(shù)學模型的基本過程。在“指數(shù)函數(shù)的概念”這節(jié)課中，教材是按照概念形成的一般過程進行的，首先從景區(qū)游客人次增長，碳14衰減等具體背景出發(fā)，通過運算發(fā)現(xiàn)其中的指數(shù)增長和指數(shù)衰減的變化規(guī)律，然后歸納其共性得到指數(shù)函數(shù)的一般表達式。教學中要求教師能夠結合素材，引導學生從數(shù)學視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、構建指數(shù)和對數(shù)函數(shù)模型，確定模型中的參數(shù)、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決問題，讓學生體會數(shù)學的來源與應用，豐富學生對數(shù)學的認識，以提升數(shù)學建模素養(yǎng)。

那么，哪一個過程在教學中是最困難的呢？是對實際問題的理解，還是數(shù)學模型的構建？在開展實際教學之前，筆者認為計算求解、檢驗結果、改進模型是最難的，但實際教學中我的這一想法改變了。下面，以“指數(shù)函數(shù)的概念”案例1“景區(qū)旅客人數(shù)增長問題”為例，進行說明。

案例：隨著中國經(jīng)濟高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式，由于旅游人數(shù)不斷增加，A、B兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應對措施，A地提高了景區(qū)門票價格，而B地取消了景區(qū)門票，表格給出了A、B兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次，以及逐年增加量（表格略）。

通過學生的自主學習和獨立思考，筆者列出五個自學問題：（1）案例中的變量有幾個？分別是什么？它們之間是否具有函數(shù)關系？（2）通過分析A、B兩地景區(qū)游客人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律？（3）能否做出A、B兩地景區(qū)游客人次變化的圖像，根據(jù)圖像結合旅游人次的增加量，說明兩地景區(qū)游客人次的變化情況？（4）能否求出兩地景區(qū)游客人次隨時間（經(jīng)過的年數(shù)）變化的函數(shù)解析式？（5）既然“增加量”不能刻畫B地景區(qū)人次的變化規(guī)律，能不能換一個量來刻畫？試一試增長率，即從2002年起，將B地景區(qū)每年的游客人次除以上一年的游客人次，看看能否發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？此時，能寫出游客人次隨時間（經(jīng)過的年數(shù)）變化的函數(shù)解析式。

通過20分鐘的自學，筆者對學生提交的自學學習單進行分析，在五個具體問題的引導下，學生利用已知數(shù)據(jù)來說明圖像的變化規(guī)律，并從圖像得到啟發(fā)去處理數(shù)據(jù)，從而以數(shù)形結合的方式發(fā)現(xiàn)實際問題變化規(guī)律，這個過程的表現(xiàn)是很好的，這充分說明高一學生已經(jīng)具備了一定的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算、邏輯推理的能力基礎。隨后，我問學生：“大家認為，A地提高景區(qū)門票價格、B地取消景區(qū)門票的初衷是什么？”沒想到一問激起千層浪，有學生回答：“A地提升門票價格的目的是為了增收，B地取消門票的目的是為了吸引游客，通過其他消費提高景區(qū)收入。”還有的學生回答：“A地提升門票價格的目的是為了限流，即限制游客人數(shù)。B地取消門票的原因是景區(qū)游覽價值不高?！睂τ诤笳叩摹傲眍惔鸢浮?，我一方面感到詫異，一方面也深以為然，我明白這個答案的產(chǎn)生，不是簡單的數(shù)學建模素養(yǎng)缺失導致的，更深層次的原因在于學生對生活現(xiàn)象的關注不夠、思考不夠導致的。于是，針對這個問題，我給學生布置了一個課后任務，通過查詢、訪談了解下面內(nèi)容：（1）旅游景區(qū)游客容量管理的方式。（2）近年來，景區(qū)對門票價格調(diào)控的各種舉措及效果。通過一周的學習，在后面的分享中，學生指出，調(diào)節(jié)客流時間分布，平衡季節(jié)旅客人數(shù)，確實會采取季節(jié)票價調(diào)節(jié)客流時空分布，但通常是門票價格在旺季時提高，淡季、平季時降低，跟大家所想的“提高門票是為了限流”并不符合。一般情況下，景區(qū)限流的方式有多種，如一旦景區(qū)飽和，則不再對外出售門票，停止游客進入；也可以設計多條游覽線路實施景區(qū)內(nèi)分流；也可以擴大景區(qū)容量，提高接待能力。

更讓我驚喜的是，學生通過查閱和學習，提出了這樣的觀點:提高門票價格看似維持了短期的利潤，卻限制了旅游市場在創(chuàng)新服務、提升旅游品質和周邊產(chǎn)品開放等方面的動力。取消門票的同時，也應盡早思考如何完善景區(qū)內(nèi)部設施，提升景區(qū)周邊消費的吸引力。有一位同學說：“我好像突然明白了之前做過的問題里的固定成本、機動成本、宣傳費用等難懂的名詞是什么意思了?！?/p>

數(shù)學建模在高中教學中的現(xiàn)狀是，經(jīng)過多輪次的培訓和學習，教師已然認可了數(shù)學建模素養(yǎng)培養(yǎng)的必要性和重要性，原因是大多數(shù)一線教師認為數(shù)學建模素養(yǎng)的培育，必須通過完整的數(shù)學建模活動，而完整的數(shù)學建?；顒佑中枰欢ǖ臄?shù)學建?；顒雍蛿?shù)學探究活動的經(jīng)驗，這樣的理解讓教師內(nèi)心滋生出對數(shù)學建模的畏懼，阻擋了大家對數(shù)學建模素養(yǎng)提升的進一步思考和探索。筆者認為，初高中數(shù)學學習過程中數(shù)學建模素養(yǎng)的培養(yǎng)，可以分為四個層次:層次一，立足于教材中有背景的問題，不是看到背景而是理解背景，這就需要教師適度給學生提供與問題背景相關的閱讀材料，讓學生理解數(shù)學問題的產(chǎn)生是基于背景下的合理抽象，背景是數(shù)學問題的源頭而不是裝飾，教學中教師要讓學生獨立閱讀，理解，抽象，建模，求解；層次二，對教材中有背景的問題進行改編，將理想化的條件適度改為開放性的條件，讓學生重新經(jīng)歷建模過程；層次三，對教材中的數(shù)學探究活動進行專題研究。張思明指出：“中學數(shù)學建模從數(shù)學的意義上可以理解為‘在中學做的數(shù)學建模’專業(yè)要求不高，而從課程的角度可以理解為在中學實施的特殊課程形態(tài)，它是一種以‘問題引領，操作實踐’為特征的活動性課程?！边@樣的專題課不能采用傳統(tǒng)的講授法進行教學，我們可以結合建模學習、數(shù)學實驗、探究學習和主題閱讀等方式，讓學生充分體驗數(shù)學建?；顒拥耐暾^程；層次四，讓學生在生活中發(fā)現(xiàn)問題，然后提出問題，再進行建?；顒?，當然，這一層次對學生和教師的要求是最高的，學生將要經(jīng)歷從數(shù)學知識的直接應用與滲透，到自主進行完整的建模活動的這樣一個過程。由于工作量大，學生是存在困難的，這時小組合作的優(yōu)勢就體現(xiàn)出來了，在小組長的協(xié)調(diào)組織下，小組成員分工明確，相互幫助、支援，做到了人人參與，人人有事干，讓原本龐大的工作量有了可實施性。針對很多教師對數(shù)學建模底氣不足、經(jīng)驗不夠的問題，數(shù)學教師也意識到這并不影響師生共學、師生共做數(shù)學建模，教學中教師給學生呈現(xiàn)的不僅僅是自己的學習積累，更應該是自己的學習能力，因此重視數(shù)學建模問題的學習路徑和方法，讓學生和教師在共同的學習過程中得以提升。

如此，學生的學習不再是被動地接受知識，而是在教師有意識的引導下，通過合作探究主動參與到整個學習的過程中。在放手讓學生主動去學的同時，并不意味著要將教師的作用排除在課堂之外。在開題環(huán)節(jié)上，學生需要教師引導去分析課題，指導如何撰寫開題報告；在做題環(huán)節(jié)，學生由于知識水平的不足，需要教師引導去發(fā)現(xiàn)短板，以及運用哪種方法去檢驗函數(shù)模型的優(yōu)劣。

當然，數(shù)學建模之重要必然決定了數(shù)學建模之繁復，但只要具有數(shù)學建模的意識，按照以上四個層次逐層遞進，不斷引導學生探尋解決問題的路徑，促進反思與批判性思維的形成，最終使學生深刻感受到數(shù)學在自己的日常生活及未來職業(yè)發(fā)展中的重要作用，數(shù)學建模素養(yǎng)的培育就不再是夢想。

作者單位   陜西省銅川市耀州中學

付　偉

責任編輯：張言