致力于有序的數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅僅要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)之序，還要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知心理之序，關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之序。循知識(shí)之序能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)邏輯演進(jìn)，循心理之序能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)無痕推進(jìn)，循學(xué)習(xí)之序能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不斷躍進(jìn)。作為教師，要善于挖掘與教學(xué)關(guān)聯(lián)的教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生在觀察、動(dòng)手操作和討論探究中逐步形成有序思維，讓學(xué)生的有序?qū)W習(xí)過程成為學(xué)生數(shù)學(xué)思維、認(rèn)知和素養(yǎng)發(fā)展的過程。

這個(gè)世界上的一切事物都向著自身相對(duì)有序的狀態(tài)發(fā)展，教學(xué)也是如此。從根本上說，教學(xué)就是要處理兩個(gè)方面的問題：一是選材，二是立序。有序，是教學(xué)的本真追求。致力于有序的數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)之序，更要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知心理之序，關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之序，等等。有序教學(xué)，能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維等的發(fā)展，對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要的意義和價(jià)值。

一、有序教學(xué)視野之下對(duì)高階思維的認(rèn)識(shí)

絕大多數(shù)情況下，教師對(duì)教學(xué)的認(rèn)知都是比較樸素的，在很多教師的認(rèn)知當(dāng)中，教學(xué)就是教學(xué)生學(xué)。這樣的理解也不能說有錯(cuò)，但是完全拘泥于這一經(jīng)驗(yàn)性的理解，顯然不能讓教師觸及教學(xué)的本質(zhì)。那么如何才能觸及教學(xué)的本質(zhì)呢？筆者以為換一個(gè)角度，站在學(xué)生的角度去尋找答案，可能會(huì)使認(rèn)知更加準(zhǔn)確。學(xué)生的學(xué)習(xí)除了積累知識(shí)之外，還有一個(gè)很重要的目的就是發(fā)展自己的思維。也許大部分學(xué)科知識(shí)在學(xué)生未來的生活當(dāng)中很難起到直接作用的話，但在學(xué)科知識(shí)學(xué)習(xí)過程中形成的思維能力，卻可以作用于學(xué)生的學(xué)習(xí)與生活的每一個(gè)細(xì)節(jié)。因此，從這個(gè)角度來看，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，才是學(xué)科教學(xué)的根本任務(wù)，反映著教學(xué)的本質(zhì)。

當(dāng)然，對(duì)這一判斷可能也會(huì)有不同的觀點(diǎn)，就拿小學(xué)數(shù)學(xué)來說，相信幾乎所有的數(shù)學(xué)教師都會(huì)認(rèn)為自己一直重視學(xué)生的思維發(fā)展。但是拿學(xué)生的學(xué)習(xí)過程與結(jié)果來審視這一判斷，可以發(fā)現(xiàn)教師對(duì)思維的重視往往停留在理論層面，并沒有真正落實(shí)到日常教學(xué)之中。之所以這么說是因?yàn)?，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的思維培養(yǎng)，不是體現(xiàn)在學(xué)生經(jīng)過重復(fù)訓(xùn)練之后獲得的解題能力之上，而是體現(xiàn)在學(xué)生在陌生的環(huán)境里面，能夠自然激活已有的知識(shí)，準(zhǔn)確判斷解決問題的方向，準(zhǔn)確選擇解決問題的工具，對(duì)解決問題的過程與結(jié)果進(jìn)行深入的反思。要達(dá)到這樣的教學(xué)效果，傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)模式是有一定困難的，而有效的突破途徑就是必須讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中實(shí)現(xiàn)高階思維的發(fā)展。

高階思維是相對(duì)于低階思維而言的，高階思維的發(fā)展不是自然而然的，實(shí)踐表明，只有在有序的教學(xué)狀態(tài)之下，學(xué)生的高階思維才能得到順利發(fā)展。

所謂有序的教學(xué)狀態(tài)，是指學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)出有序性。如同上面所指出的那樣，世界上任何事物都是有著自身相對(duì)的“序”的。此處，“序”表現(xiàn)為知識(shí)演繹的基本過程，顯示著學(xué)科知識(shí)演繹的基本規(guī)律，對(duì)應(yīng)著學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間與空間之序。從整體論的角度來看，重視有序的教學(xué)，實(shí)際上是強(qiáng)調(diào)教學(xué)的整體性。對(duì)教師而言，這也就意味著在設(shè)計(jì)教學(xué)的時(shí)候，要考慮具體學(xué)科知識(shí)演繹的規(guī)律，要考慮學(xué)生在建構(gòu)這一知識(shí)時(shí)會(huì)涉及哪些內(nèi)容，在教學(xué)當(dāng)中要將這些內(nèi)容有機(jī)地體現(xiàn)出來。

在這樣的教學(xué)之下，再去看學(xué)生的思維發(fā)展，就可以使學(xué)生的高階思維得到切實(shí)有效的培養(yǎng)。其中的原因在于，當(dāng)追求教學(xué)之序的時(shí)候，學(xué)生的思維會(huì)表現(xiàn)出邏輯性、條理性，學(xué)生的思維與具體的問題之間會(huì)形成匹配度較高的關(guān)系，這使得學(xué)生的思維具有明確的問題解決指向。很顯然這樣的思維水平超越低階思維層面走向高階思維。

二、循知識(shí)之序，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)邏輯更完善

高階思維是相對(duì)于低階思維而言的，當(dāng)學(xué)生運(yùn)用低階思維的時(shí)候，思維的對(duì)象相對(duì)簡單，思維的方式相對(duì)熟悉；相應(yīng)地在運(yùn)用高階思維的時(shí)候，思維對(duì)象的復(fù)雜使得學(xué)生會(huì)摸索、選擇相對(duì)不熟悉的思維方式，而且是多種復(fù)雜的思維方式進(jìn)行思維。從低階思維走向高階思維的過程，就是學(xué)生的思維能力得到發(fā)展的過程。在高階思維當(dāng)中，邏輯思維是一個(gè)重要的組成部分，著名特級(jí)教師吳正憲老師說，知識(shí)的傳授應(yīng)當(dāng)立足于知識(shí)的邏輯發(fā)展。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是循序漸進(jìn)的，循知識(shí)之序，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)獲得邏輯演進(jìn)。教學(xué)匯總時(shí)，教師要對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行邏輯梳理、抽象和概括，形成數(shù)學(xué)知識(shí)鏈，讓學(xué)生按照這一知識(shí)鏈的節(jié)點(diǎn)，有序?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)。相對(duì)于碎片化、無序孤立式的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，有機(jī)的、有序的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，更能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。有序的知識(shí)鏈從某種意義上說，就是數(shù)學(xué)知識(shí)的DNA，有力地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生成。

知識(shí)的有序化能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從散點(diǎn)走向結(jié)構(gòu)。正如數(shù)學(xué)規(guī)律的存在猶如那密密麻麻的蜂眼，但在最后卻應(yīng)當(dāng)以整個(gè)的蜂巢示人。換言之，學(xué)生單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)都應(yīng)當(dāng)是整個(gè)知識(shí)鏈學(xué)習(xí)、知識(shí)塊學(xué)習(xí)中的一部分。知識(shí)的有序化、結(jié)構(gòu)化是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)化的前提、基礎(chǔ)及條件。比如教學(xué)《分?jǐn)?shù)的意義》時(shí)，教師就需要對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行梯度解讀，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有序可循、有跡可循、逐步深入。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，“分?jǐn)?shù)”這一概念是分三個(gè)層次安排的。以蘇教版為例，其一是安排在蘇教版三年級(jí)上冊(cè)，主要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到一個(gè)物體的幾分之幾；其二是安排在蘇教版三年級(jí)下冊(cè)，主要是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到由許多物體組成的整體的幾分之幾；其三是安排在蘇教版五年級(jí)下冊(cè)，主要是概括分?jǐn)?shù)的意義。這三個(gè)層面，既可以理解為知識(shí)難度的三個(gè)層面，同時(shí)也可以理解為思維的三個(gè)層面。從學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的角度來看，從思維層面理解“分?jǐn)?shù)”的三個(gè)層面，筆者以為就是為日常的教學(xué)明確了有序思路。在第一個(gè)層面的教學(xué)時(shí)注意幫助學(xué)生夯實(shí)分?jǐn)?shù)知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，在第二個(gè)層面教學(xué)的時(shí)候注意承上啟下，在第三個(gè)層次教學(xué)的時(shí)候注意總結(jié)概括，那么學(xué)生對(duì)思維的體驗(yàn)就會(huì)更加深刻，思維水平自然也就會(huì)表現(xiàn)出高階思維應(yīng)有的水平。因此，在教學(xué)中，教師要循著數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯之序，引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。這一努力的背后遵循著一個(gè)基本的邏輯關(guān)系，那就是數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯之序，就是學(xué)生思維發(fā)展的堅(jiān)實(shí)階梯。

三、循心理之序，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)無痕推進(jìn)

有序化的數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅要遵循數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯之序，還要遵循學(xué)生的心理之序。著名數(shù)學(xué)教育專家曹才翰認(rèn)為，所謂的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，就是學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)按照自己的理解的深度、廣度等，結(jié)合了自己的感覺、知覺、記憶、思維、想象等，組成的一個(gè)內(nèi)部的有規(guī)律的組織。為此，教師在教學(xué)中要研究學(xué)生的認(rèn)知心理、認(rèn)知特質(zhì)、認(rèn)知傾向等。要把握學(xué)生認(rèn)知的階段性、順序性等，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知、思維的有序展開、有序推進(jìn)等。

從心理的角度去講究“序”，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言是一個(gè)不小的挑戰(zhàn)，作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，如果能夠應(yīng)對(duì)這一挑戰(zhàn)，那么就能夠打開小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)新局面。在這里強(qiáng)調(diào)循心理之序，還有一層考慮，那就是站在學(xué)生的角度來看，小學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候，是很難體會(huì)到自己在運(yùn)用心理規(guī)律進(jìn)行學(xué)習(xí)（盡管這是客觀存在的事實(shí)），小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更多的是經(jīng)驗(yàn)化、直覺化、程序化的過程。這個(gè)時(shí)候作為教師，只有洞察并把握住了學(xué)生的心理之序，才能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)過程行走在認(rèn)知規(guī)律的軌道之上。如果這一過程能夠做到無痕推進(jìn)，那么學(xué)生的思維發(fā)展就會(huì)自然而然地從低階走向高階。而判斷學(xué)生是否具有了高階思維水平，依據(jù)之一就是看學(xué)生面對(duì)問題的時(shí)候，能否準(zhǔn)確地判斷問題解決的方向，即問題解決的思路是否準(zhǔn)確。

一般來說，小學(xué)低年級(jí)學(xué)生的思維、認(rèn)知是具體動(dòng)作形態(tài)化的，小學(xué)中年級(jí)學(xué)生的思維、認(rèn)知是具體形象化的，小學(xué)高年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知、思維已經(jīng)開始向抽象邏輯化方向發(fā)展。作為教師，要循著學(xué)生的認(rèn)知心理之序無痕地推動(dòng)學(xué)生的認(rèn)知。在教學(xué)中教師可以設(shè)計(jì)核心的問題、有序的操作、有序的活動(dòng)等，激活、助推、訓(xùn)練學(xué)生的有序思維。比如《因數(shù)和倍數(shù)》這一部分內(nèi)容，蘇教版教材是通過乘法算式、除法算式來引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)因數(shù)和倍數(shù)，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生寫出一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)。應(yīng)該說，這樣的教材編排方式能促進(jìn)學(xué)生的高效學(xué)習(xí)，但筆者認(rèn)為，這樣的一種教學(xué)不利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的心理內(nèi)化。因數(shù)和倍數(shù)這部分內(nèi)容屬于概念性的內(nèi)容，相對(duì)于其他的數(shù)學(xué)知識(shí)而言，這部分內(nèi)容比較抽象。為了促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知及加快學(xué)生的心理內(nèi)化速度，筆者在教學(xué)中組織了有序化的操作活動(dòng)，將抽象化的數(shù)學(xué)知識(shí)寓于形象化、具體化的操作活動(dòng)之中。具體而言，一是引導(dǎo)學(xué)生用24個(gè)或者36個(gè)小正方形拼成一個(gè)長方形；二是引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)化、數(shù)學(xué)化的算式來表征自我的操作；三是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)算式中的每個(gè)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行研究。通過這樣有序化的操作活動(dòng)，學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)到，一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的；在一個(gè)算式中，因數(shù)往往是乘數(shù)或者是除數(shù)和商；在一個(gè)算式中，倍數(shù)往往是積，或者是被除數(shù)等。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以通過前測(cè)的方法把握學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、認(rèn)知狀態(tài)等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要基于學(xué)生的生命存在、生命成長視角來考量，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容、方式等。著名教育家蘇霍姆林斯基說，每一個(gè)學(xué)生都可能成為探索者、發(fā)現(xiàn)者、研究者。尊重學(xué)生的認(rèn)知心理規(guī)律、遵循學(xué)生的認(rèn)知心理規(guī)律，就能讓學(xué)生的認(rèn)知、思維規(guī)范化、條理化、有序化，就能讓學(xué)生的認(rèn)知、思維之苗從萌芽走向蓬勃發(fā)展。而做到這一點(diǎn)，能使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)處于無痕的狀態(tài)。這一狀態(tài)下的學(xué)習(xí)，學(xué)生的收獲更加豐富而有特點(diǎn)，這是因?yàn)閷W(xué)生在思維的時(shí)候，或者在用文字及公式表述自己的學(xué)習(xí)過程的時(shí)候，內(nèi)在的高階思維與外在的知識(shí)表述可以形成一個(gè)良好的相互融合的關(guān)系，這種關(guān)系可以很好地保證學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的無痕推進(jìn)。

四、循學(xué)習(xí)之序，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不斷躍進(jìn)

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要遵循數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯序，還要遵循學(xué)生的學(xué)習(xí)序。如果說，數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯序體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的邏輯，心理序體現(xiàn)的是學(xué)生的心理發(fā)展邏輯，那么學(xué)生的學(xué)習(xí)序應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)教育學(xué)的邏輯。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以應(yīng)用問題鏈、任務(wù)鏈等，有序推進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有序、有向。有經(jīng)驗(yàn)的教師都明白，小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中思維常常會(huì)表現(xiàn)出一定的跳躍性，這是這個(gè)年齡階段思維的固有特點(diǎn)。作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，要尊重這一特點(diǎn)，從教育學(xué)的視角強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)之序，本質(zhì)上也是在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)的時(shí)候，學(xué)習(xí)的節(jié)奏要能夠與學(xué)生的跳躍思維相吻合，而要做到這一點(diǎn)，又必須回到對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)規(guī)律的把握上。

眾所周知，作為傳統(tǒng)理科的數(shù)學(xué)學(xué)科，在學(xué)習(xí)的時(shí)候不能讓學(xué)生死記硬背。而過去的數(shù)學(xué)教學(xué)往往滯留于“記憶”“復(fù)制”等層面，徘徊于學(xué)生的淺表學(xué)習(xí)層面，缺乏一種綜合性、立體性、全方位的眼光。學(xué)生有序的思維、有序的認(rèn)知離不開學(xué)生有序的學(xué)習(xí)。為此，教師要設(shè)計(jì)好學(xué)生的學(xué)習(xí)流程，不僅要讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)有序，更要讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法有序、思考有序、探究有序等。有序的教學(xué)策略、有序的學(xué)習(xí)策略等是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的土壤。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)核心問題、相關(guān)的操作活動(dòng)、探究性的活動(dòng)、針對(duì)性的練習(xí)等。比如教學(xué)《平行四邊形的認(rèn)識(shí)》這部分內(nèi)容的時(shí)候，可以根據(jù)學(xué)生的具體學(xué)情及平行四邊形的面積公式，用問題驅(qū)動(dòng)、任務(wù)驅(qū)動(dòng)的方式引導(dǎo)學(xué)生的有序?qū)W習(xí)。設(shè)置這樣的問題，問題一是：平行四邊形有怎樣的特征？問題二是：平行四邊形與長方形、正方形之間有怎樣的關(guān)系？對(duì)于問題一，學(xué)生會(huì)通過直觀的認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)和掌握平行四邊形的特征，然后會(huì)進(jìn)行積極的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、操作驗(yàn)證等。在這一過程中，可以分成兩個(gè)層面讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)平行四邊形：一是平行四邊形的角，二是平行四邊形的邊。通過對(duì)問題一的深入分析，為學(xué)生思考問題二奠定了基礎(chǔ)。在對(duì)問題二進(jìn)行思考的過程中，可以指導(dǎo)學(xué)生比較長方形、正方形和平行四邊形的不同特征，進(jìn)而得出正方形是長方形、長方形是平行四邊形的科學(xué)結(jié)論。同時(shí)，通過問題二的解決，學(xué)生能更加深刻地認(rèn)識(shí)和掌握平行四邊形的特征。有序化的教學(xué)設(shè)計(jì)，為學(xué)生后面形成清晰的思維路徑、認(rèn)知路徑等奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

總而言之，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)聚焦有序，要求教師的教學(xué)設(shè)計(jì)要有組織、有順序。在教學(xué)的過程當(dāng)中一定要以學(xué)生為中心，也就是必須強(qiáng)調(diào)以學(xué)定教、因?qū)W施教、順學(xué)而導(dǎo)。只有尊重學(xué)生學(xué)習(xí)的有序性，才能認(rèn)識(shí)到學(xué)生的有序?qū)W習(xí)過程是由表及里、由此及彼的一個(gè)逐漸深化的過程。教學(xué)中，教師要積極挖掘與教學(xué)相關(guān)聯(lián)的一些學(xué)生熟悉的事物，以使學(xué)生在觀察、動(dòng)手操作和討論探究中更好地形成有序思維。有了有序思維作為支撐，學(xué)生的思維就能更快地突破低階水平，實(shí)現(xiàn)向高階思維發(fā)展的目的。有序教學(xué)，能將學(xué)生的數(shù)學(xué)有序?qū)W習(xí)過程轉(zhuǎn)化為學(xué)生思維、認(rèn)知和數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的良好過程。

作者單位   江蘇省高郵市秦郵實(shí)驗(yàn)小學(xué)

責(zé)任編輯：張言