現(xiàn)代數(shù)學(xué)主要研究的是數(shù)量關(guān)系和空間形式，數(shù)形結(jié)合思想就是把兩者聯(lián)系起來(lái)，相互描述分析的一個(gè)思想方法。數(shù)是抽象的，形是形象的，數(shù)形結(jié)合思想能夠?qū)⒊橄箨P(guān)系形象化，更利于理解和掌握。函數(shù)是數(shù)形結(jié)合思想的一個(gè)體現(xiàn)，初中數(shù)學(xué)主要介紹了函數(shù)基本概念、一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)和三角函數(shù)等，是學(xué)生日常學(xué)習(xí)及升學(xué)考試的重難點(diǎn)。因此，如何更好地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想開(kāi)展教學(xué)，幫助學(xué)生理解和掌握函數(shù)知識(shí)，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)是教師值得思考的問(wèn)題。

一、數(shù)形結(jié)合思想在初中函數(shù)教學(xué)中的體現(xiàn)

函數(shù)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施以來(lái)，學(xué)生自初中開(kāi)始系統(tǒng)地學(xué)習(xí)函數(shù)。函數(shù)無(wú)論是抽象度還是理解度都上了一層樓，很多學(xué)生開(kāi)始學(xué)習(xí)時(shí)都摸不著頭腦。歸根結(jié)底，是因?yàn)楹瘮?shù)概念太過(guò)抽象。除函數(shù)基礎(chǔ)概念外，一些具體函數(shù)如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)和三角函數(shù)等，都兼具數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系兩個(gè)特點(diǎn)。因此，函數(shù)本身是數(shù)形結(jié)合的統(tǒng)一，這為數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)奠定的基礎(chǔ)。

以一次函數(shù)為例，數(shù)量關(guān)系表達(dá)式為[y=a+bx，ab]的符號(hào)可能同時(shí)為正或?yàn)樨?fù)、一負(fù)一正或一正一負(fù)。從數(shù)量表達(dá)方式看，它們差異不大，但在圖形表達(dá)上，[a]正[b]負(fù)，經(jīng)過(guò)一、二、四象限；ab同時(shí)為正，則一次函數(shù)經(jīng)過(guò)一、二、三象限；[ab]同時(shí)為負(fù)，則經(jīng)過(guò)二、三、四象限，[a]負(fù)[b]正，則經(jīng)過(guò)一、三、四象限。又如二次函數(shù)，有三個(gè)變量同時(shí)影響函數(shù)結(jié)果，不畫(huà)圖只計(jì)算數(shù)量關(guān)系，計(jì)算量非常大，且難以發(fā)現(xiàn)函數(shù)變化的規(guī)律，結(jié)合圖形學(xué)生就很容易總結(jié)出[y=ax2+bx+c]中[c]決定了拋物線與y軸的交點(diǎn)，[a]的正負(fù)號(hào)決定了函數(shù)的開(kāi)口方向，[a]和[b]會(huì)影響對(duì)稱軸的位置等知識(shí)點(diǎn)。

除了基本圖形以外，數(shù)形結(jié)合思想對(duì)學(xué)生理解函數(shù)的性質(zhì)也有著重要的作用。例如學(xué)習(xí)函數(shù)的定義域、單調(diào)性時(shí)，學(xué)生只觀察一次函數(shù)表達(dá)式[y=ax+b]，難以直接得出結(jié)論，而畫(huà)圖后就能很容易看出函數(shù)的定義域，即x的取值范圍是無(wú)限的；再如學(xué)習(xí)分段函數(shù)時(shí)，學(xué)生通過(guò)觀察表達(dá)式難以確定單調(diào)性，但畫(huà)圖后就一目了然。

數(shù)形結(jié)合思想融入函數(shù)教學(xué)的理論基礎(chǔ)是建構(gòu)主義理論和表征理論。建構(gòu)主義理論認(rèn)為，個(gè)人的學(xué)習(xí)是一個(gè)基于原有基礎(chǔ)，吸收新知識(shí)和構(gòu)建知識(shí)體系的過(guò)程，任何知識(shí)都不可能是憑空掌握的，都是由淺及深、由易到難的過(guò)程。從這個(gè)意義上講，圖象是學(xué)生已經(jīng)掌握的基礎(chǔ)知識(shí)，函數(shù)表達(dá)式是新知識(shí)，從圖象認(rèn)識(shí)表達(dá)式，既符合建構(gòu)主義理論主張，又符合常人對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的感知。表征理論認(rèn)為，人們的學(xué)習(xí)對(duì)象總會(huì)以某種形式外在呈現(xiàn)出來(lái)，如函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是自變量和因變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其需要通過(guò)一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式或函數(shù)圖象的形式來(lái)表現(xiàn)。初中函數(shù)內(nèi)容比較基礎(chǔ)，可以用圖象和表達(dá)式表達(dá)函數(shù)關(guān)系。

綜上所述，教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)數(shù)量和圖形之間的關(guān)系。雖然數(shù)形結(jié)合思想對(duì)函數(shù)教學(xué)非常重要，但函數(shù)關(guān)系抽象，理解難度大，圖形只能起輔助作用。

二、數(shù)形結(jié)合思想在初中函數(shù)教學(xué)應(yīng)用時(shí)存在的問(wèn)題

1.學(xué)生的掌握程度有待提升

初中數(shù)學(xué)進(jìn)入函數(shù)以后，無(wú)論是知識(shí)量還是難度都明顯地上升了一個(gè)層次，不再是簡(jiǎn)單的運(yùn)算或幾何圖形描述了，而是引入了更多抽象概念，讓學(xué)生探索數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系的規(guī)律。部分學(xué)生剛剛接觸函數(shù)時(shí)不知如何入手，對(duì)圖像表達(dá)函數(shù)關(guān)系式的方法理解比較困難，接受程度不高。有的學(xué)生只是死記硬背函數(shù)圖象，做題時(shí)一籌莫展。如果這一瓶頸期持續(xù)過(guò)久，將會(huì)影響學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，打擊學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，導(dǎo)致部分學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)趯W(xué)習(xí)函數(shù)后有了顯著的下滑。究其原因，表面上是學(xué)生對(duì)函數(shù)概念沒(méi)有掌握好，實(shí)際上是學(xué)生缺少一個(gè)良好的學(xué)習(xí)方法，他們對(duì)數(shù)形結(jié)合思想陌生、不接受，或接受了不會(huì)使用。有些學(xué)生雖較好地掌握了數(shù)形結(jié)合思想，但解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)還是靠記憶或復(fù)雜的數(shù)量推導(dǎo)，學(xué)生主動(dòng)使用圖形輔助分析理解問(wèn)題的能力有待加強(qiáng)。

2.教師的教學(xué)方法有待改善

初中數(shù)學(xué)教師普遍認(rèn)為，函數(shù)在初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中占據(jù)著重要的位置，在升學(xué)考試中的分值占比高、難度大。大多數(shù)教師認(rèn)為，函數(shù)教學(xué)不能照本宣科，要應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，利用圖形輔助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系。但實(shí)際教學(xué)中，在如何引入圖形、將圖形與數(shù)量關(guān)系相結(jié)合的問(wèn)題上，部分教師缺乏良好的教學(xué)方法，有的直接把圖形畫(huà)出來(lái)，讓學(xué)生機(jī)械記憶，導(dǎo)致學(xué)生存在不求甚解、死記硬背的問(wèn)題。有的忽視了學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的接受、理解及應(yīng)用能力，只以學(xué)生解出題目為教學(xué)目標(biāo)，這種填鴨式教學(xué)方法導(dǎo)致相當(dāng)一部分學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想難以理解、難以接受。

3.缺少科學(xué)高效的練習(xí)

數(shù)形結(jié)合思想重在理解和應(yīng)用，只靠教師課堂講授是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，學(xué)生還要進(jìn)行一系列科學(xué)、高效的練習(xí)，以鞏固函數(shù)理論知識(shí)，提高解題能力。但從實(shí)踐來(lái)看，不只是學(xué)習(xí)函數(shù)，整個(gè)初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不少學(xué)生科學(xué)高效地練習(xí)少，雖然做了不少題，但只圍繞幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行，使用數(shù)形結(jié)合思想解決的問(wèn)題少，日常練習(xí)不到位，上了考場(chǎng)就會(huì)暴露短板。究其原因，主要有兩個(gè)方面。一是教輔材料選題和編排質(zhì)量不一，部分教輔材料題目設(shè)置隨意，沒(méi)有根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律由淺及深地引導(dǎo)學(xué)生練習(xí)函數(shù)；二是教師布置練習(xí)題時(shí)缺乏整體考慮，沒(méi)有針對(duì)學(xué)生的薄弱點(diǎn)有的放矢地選取習(xí)題。

4.學(xué)習(xí)總結(jié)和反思不到位

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)總結(jié)、反思和提高的過(guò)程，但是從實(shí)踐來(lái)看，大多數(shù)學(xué)生沒(méi)有養(yǎng)成總結(jié)和反思的習(xí)慣，特別是九年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)，由于臨近升學(xué)考試，學(xué)生更多的是求快，囫圇吞棗，只按照升學(xué)考試方向做習(xí)題，認(rèn)為沒(méi)有必要總結(jié)和反思，學(xué)習(xí)的知識(shí)不夠牢固，題目一變就不會(huì)算了。加之，數(shù)形結(jié)合思想本身有一定難度，在初中函數(shù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生如果缺乏必要的總結(jié)，難以使知識(shí)體系化，不利于應(yīng)用解題。

三、數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)教學(xué)中應(yīng)用的對(duì)策

1.培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

興趣是最好的老師。在函數(shù)教學(xué)過(guò)程中，教師可以引入具體例子。例如，商場(chǎng)的打折促銷(xiāo)活動(dòng)：購(gòu)買(mǎi)額在500元以下不打折，501—1000元以內(nèi)超額部分打8折，1000元以上超額部分打6折。這是一個(gè)分段函數(shù)問(wèn)題，教師可以讓學(xué)生畫(huà)出分段函數(shù)圖形，觀察其中的數(shù)量關(guān)系，并計(jì)算實(shí)際購(gòu)買(mǎi)額為800元時(shí)，應(yīng)該支付多少錢(qián)。又如，講授二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，教師也可以讓學(xué)生先畫(huà)圖形，大致判斷交點(diǎn)的位置，再用公式計(jì)算驗(yàn)證。如果學(xué)生計(jì)算出的結(jié)果與圖形推斷結(jié)果一致，就會(huì)增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合方法使用的信心。同時(shí)，學(xué)生也要端正學(xué)習(xí)態(tài)度，函數(shù)學(xué)習(xí)不是一蹴而就的，特別是與之前的知識(shí)點(diǎn)相比，函數(shù)理論性更強(qiáng)、更抽象，學(xué)習(xí)初期難免會(huì)遇到一定問(wèn)題，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身就不是一帆風(fēng)順的，學(xué)習(xí)本身也是自我突破、自我超越的過(guò)程，學(xué)生要克服畏難情緒，不能避重就輕，遇到問(wèn)題要端正態(tài)度，積極向老師和同學(xué)請(qǐng)教，更好地理解數(shù)形結(jié)合思想，提高學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)成績(jī)。

2.優(yōu)化數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)方法

教師要立足于函數(shù)教學(xué)實(shí)踐，分析和總結(jié)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想接受難、成績(jī)一般的內(nèi)在原因，并積極調(diào)整和改進(jìn)教學(xué)方法。以二次函數(shù)y=[ax2+bx+c]為例，新課標(biāo)列出的教學(xué)目標(biāo)包括三個(gè)層次，一是了解二次函數(shù)的圖像形式，即拋物線的相關(guān)概念，并能夠自主繪制拋物線，掌握二次函數(shù)性質(zhì)；二是讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想；三是培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、合作精神等。教師可以帶領(lǐng)學(xué)生先復(fù)習(xí)函數(shù)的基本概念、一次函數(shù)和正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的公式和圖像，讓學(xué)生“溫習(xí)”數(shù)形結(jié)合思想，重點(diǎn)回顧“描點(diǎn)法”，即繪制一次函數(shù)直線的過(guò)程。復(fù)習(xí)完一次函數(shù)后，教師可以給出二次函數(shù)的幾個(gè)點(diǎn)[（x，y）]，讓學(xué)生使用描點(diǎn)法嘗試?yán)L制二次函數(shù)圖像。通過(guò)描點(diǎn)法繪制二次函數(shù)圖像，學(xué)生更容易接受二次函數(shù)的概念和圖象。此時(shí)，教師可以改變a的符號(hào)，讓學(xué)生再嘗試?yán)L制。繪制過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)[a]由正變成負(fù)數(shù)后，二次函數(shù)圖像的開(kāi)口從向上變成了向下，便自主地得出了結(jié)論：[a]系數(shù)為正，二次函數(shù)拋物線開(kāi)口向上，[a]系數(shù)為負(fù)，二次函數(shù)拋物線開(kāi)口向下。正是由于學(xué)生全程參與了二次函數(shù)圖象的繪制，他們才能對(duì)函數(shù)圖象的特征掌握得“順理成章”，在解決問(wèn)題時(shí)才能記得住、記得對(duì)、用得好。對(duì)于[a]系數(shù)的擴(kuò)大或縮小，例如[a=12、a=2、a=4]等變化，教師同樣可以讓學(xué)生在課堂上使用描點(diǎn)法畫(huà)出圖象，觀察對(duì)比后得出結(jié)論。

在完成上述教學(xué)過(guò)程后，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)總結(jié)數(shù)形結(jié)合方法歸納得出的二次函數(shù)的特征。例如，在解決“已知拋物線[y=3x2+6x+9]，拋物線的開(kāi)頭是向上還是向下？對(duì)稱軸是在[y]軸左側(cè)還是右側(cè)？拋物線與[x]軸、[y]軸的交點(diǎn)是哪個(gè)”這些問(wèn)題時(shí)如果學(xué)生還未能迅速反應(yīng)過(guò)來(lái)，教師可以留作業(yè)，請(qǐng)學(xué)生逐個(gè)畫(huà)圖得出答案。反復(fù)練習(xí)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)記憶，提高學(xué)習(xí)效果。學(xué)生基本掌握二次函數(shù)拋物線特征以后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察拋物線并思考問(wèn)題：“拋物線上總是有個(gè)最高（最低）點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)和對(duì)稱軸有什么關(guān)系？”學(xué)生通過(guò)觀察圖像，結(jié)合數(shù)量關(guān)系很快就會(huì)得出結(jié)論：極值點(diǎn)一定位于對(duì)稱軸上。在完成上述教學(xué)環(huán)節(jié)之后，學(xué)生對(duì)二次函數(shù)已經(jīng)有了比較全面的認(rèn)識(shí)，此刻再加入練習(xí)題，就能起到很好的鞏固作用。

3.開(kāi)展科學(xué)高效的習(xí)題訓(xùn)練

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)“知、懂、會(huì)、熟、巧”的過(guò)程。學(xué)生學(xué)習(xí)初中函數(shù)數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，不能僅停留在最基本的“知”和“懂”的層次，還要在“會(huì)”用理論知識(shí)的基礎(chǔ)上，熟練解決問(wèn)題、巧用理論快速解題，這些是建立在必要的習(xí)題訓(xùn)練的基礎(chǔ)上的。因此，教師在選擇習(xí)題時(shí)要注重三個(gè)方面的內(nèi)容。一是要以課程標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)，不追求超綱的偏、難、怪習(xí)題，要注重基礎(chǔ)知識(shí)的訓(xùn)練。當(dāng)學(xué)生熟練掌握了函數(shù)的基本概念、基本性質(zhì)后，教師可以安排一些稍微復(fù)雜、抽象的習(xí)題，啟發(fā)學(xué)生的研究思維、發(fā)散思維和創(chuàng)新思維；二是要由簡(jiǎn)單到復(fù)雜地選擇習(xí)題，逐漸提高習(xí)題的難度，讓學(xué)生根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想思考一些更為復(fù)雜的問(wèn)題，切實(shí)提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力；三是習(xí)題要貼近升學(xué)考試習(xí)題，以此提高學(xué)生的應(yīng)試能力。

4.培養(yǎng)學(xué)生的思考總結(jié)能力

在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生思考、總結(jié)數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用，具體包括三個(gè)部分。一是針對(duì)函數(shù)基本概念類考題，教師可以要求學(xué)生畫(huà)出函數(shù)的大致圖像，觀察總結(jié)函數(shù)的基本特征。如一次函數(shù)a系數(shù)的正負(fù)號(hào)，對(duì)直線方向的影響；[ab]系數(shù)的正負(fù)性決定函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限；反比例函數(shù)[k]的正負(fù)對(duì)曲線位置的影響；二次函數(shù)系數(shù)[ab]決定對(duì)稱軸的位置等。這類考題比較基礎(chǔ)，但學(xué)生需要畫(huà)出函數(shù)圖象的大致位置才能準(zhǔn)確判斷。二是針對(duì)函數(shù)性質(zhì)類考題，如二次函數(shù)的極值問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖大致判斷極值位置，再利用數(shù)量公式加以驗(yàn)證，如果圖象位置和計(jì)算結(jié)果不同，那么說(shuō)明有一個(gè)判斷是錯(cuò)誤的。三是針對(duì)函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，如單價(jià)隨數(shù)量變化而變化，求總價(jià)最低的問(wèn)題。其本質(zhì)是二次函數(shù)問(wèn)題，學(xué)生只需計(jì)算得出二次函數(shù)的表達(dá)式[：y=ax2+bx+c]后，求出極值即可。

在教學(xué)過(guò)程中，教師還要引導(dǎo)學(xué)生反思自己在學(xué)習(xí)函數(shù)的過(guò)程中存在的問(wèn)題。例如，學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)，求解直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，學(xué)生如果使用公式計(jì)算，容易因?yàn)榉?hào)問(wèn)題計(jì)算錯(cuò)誤，但如果先畫(huà)出大致圖形，就可以規(guī)避符號(hào)計(jì)算錯(cuò)誤的問(wèn)題，就能提高做題準(zhǔn)確率。

5.善于使用多媒體教學(xué)

數(shù)形結(jié)合思想除了以“形”表“數(shù)”外，還有一個(gè)作用就是將數(shù)量關(guān)系的變化通過(guò)圖形變化體現(xiàn)出來(lái)。例如，解決二次函數(shù)[y=2x2+4x+6]這一問(wèn)題時(shí)，當(dāng)[a]從2變?yōu)閇12]時(shí)，拋物線開(kāi)口會(huì)擴(kuò)大，但對(duì)于學(xué)生而言，擴(kuò)大的過(guò)程及幅度始終沒(méi)有一個(gè)清晰直觀的概念。如果僅憑教師在黑板上畫(huà)圖，就會(huì)導(dǎo)致教學(xué)效率低，且難以形象地表達(dá)拋物線的變化過(guò)程。因此，有條件的學(xué)?？梢蕴剿魇褂枚嗝襟w教學(xué)，教師可以利用數(shù)學(xué)教學(xué)軟件和多媒體設(shè)備將函數(shù)圖象變動(dòng)過(guò)程清晰直觀地展現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生更好地理解。

總之，數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的應(yīng)用非常典型。當(dāng)前，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用還存在一些問(wèn)題，筆者在本文中有針對(duì)性地給出了具體的應(yīng)用方法和解決建議，包括培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，優(yōu)化數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)方法，開(kāi)展科學(xué)高效的習(xí)題訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生思考總結(jié)能力等，相信筆者的研究對(duì)初中數(shù)學(xué)教師提高函數(shù)數(shù)形結(jié)合教學(xué)效果具有一定的借鑒意義。

作者單位   陜西省潼關(guān)縣城關(guān)第二初級(jí)中學(xué)

責(zé)任編輯：張言