分類討論思想是針對具有一般邏輯性、綜合性和探究性較強問題，以分類討論的形式，解決問題的思想。教師在授課中滲透分類討論思想，可以“化繁就簡、化難為易”，幫助學生深入理解抽象的數(shù)學理論知識?！读x務教育數(shù)學課程標準》指出，發(fā)展學生的思維能力是促進學生學習進步的有力手段。在教學中滲透分類討論思想，有利于引導學生發(fā)散思維，拓寬學生的認知領域，促進其綜合素質(zhì)發(fā)展。目前，在初中數(shù)學教學中存在教師忽視培養(yǎng)學生思維能力的問題，原因是在應試教育理念影響之下，教師過度看重習題教學而忽視思想培養(yǎng)。所以，教師應當依據(jù)研究對象本質(zhì)屬性的異同，科學滲透分類討論思想，鼓勵學生分類研究和解題，以提高學生思維的條理性和嚴謹性。在初中數(shù)學課程中滲透分類討論思想，能夠讓學生的思維得到鍛煉，有利于降低抽象數(shù)學知識的學習難度，讓學生可以針對各種研究對象，以分類的形式討論問題，使之能夠在發(fā)散思維的同時，實現(xiàn)學習進步和思維發(fā)展。分類源于實際生活，是一種基本邏輯方法，能夠幫助學生將抽象、復雜的數(shù)學問題直觀呈現(xiàn)出來。因此，教師要重視學生分類討論思想的培養(yǎng)，積極創(chuàng)新教學方式，為分類討論思想的滲透提供切入點，不斷提高數(shù)學教學實效。

一、分類討論思想概述

（一）基本概念

問題的求解途徑及其轉(zhuǎn)化方法是相對統(tǒng)一的，按照問題性質(zhì)及其處理方法，把需要探討的問題分為若干類，然后轉(zhuǎn)化成若干個小問題并加以處理，從而逐個展開探討，這就是分類討論思想。由于數(shù)學分析的方法也有其自然形成的環(huán)境，因此數(shù)學分析手段的范圍是相對比較固定的，當學生面臨數(shù)學分析困難的情況時，其無法采用常規(guī)的方式進行解決，因此，利用分類討論思想就可以將數(shù)學問題按照“每級分類、同標準劃分”的方式進行分類，循序漸進地進行求解，這種解決方法便是分類討論。

（二）分類原則

分類討論思想在實際應用的過程中，需要遵循以下四項原則。第一，同一性原則。我們按照統(tǒng)一標準，將問題進行劃分。比如：在三角形分類中，如果將三角形單純分為銳角、直角、鈍角、不等邊、等腰三角形，這種分類不符合同一性原則要求，原因是分類的標準要具有同一性。第二，相稱性原則。即確保分類相稱，在問題劃分后，外延的子問題要與原問題相同。第三，互斥性原則。要保證分類后的每個子問題之間互相排斥，避免影響正常解題思路。第四，層次性原則。指按照一次分類與多次分類相結(jié)合的方式進行討論。一次分類是指一次性分類討論問題，多次分類是將分類后的子問題視作母項，據(jù)此再進行分類，直至滿足解題需要為止。

（三）討論類型

在初中數(shù)學中，分類討論主要有以下三種類型。首先，“數(shù)、式”的分類討論。具體包括實數(shù)分類、絕對值、算術(shù)平方根、函數(shù)及圖像、函數(shù)增減性、函數(shù)變量取值范圍、含參方程、待定參數(shù)的變化范圍、含參不等式等。

其次，“三角形”的分類討論。其中，又細分為三大領域，領域一：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、等腰三角形中，與角、邊、高有關的分類討論。領域二：直角三角形問題中，未告知直角邊、斜邊的，這種問題需要結(jié)合實際情況進行討論。在無法確定直角的情況下，相關問題需要先進行分類討論，再求解。領域三：在相似三角形中，對應邊、對應角不確定的兩種情況，也需要分類進行討論。

最后，“圓”的分類討論。其中，涵蓋點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系、兩弦與直徑的位置關系、弦所對弧的優(yōu)劣性質(zhì)。

（四）討論步驟

初中數(shù)學分類討論的基本步驟如下：第一，確定分類討論的對象，并分析討論對象的取值范圍。第二，根據(jù)相關標準對討論對象進行合理分類。第三，根據(jù)具體的步驟對討論對象進行論述，逐步解決分類討論問題。第四，對討論內(nèi)容進行對標，并整理出結(jié)論。

二、初中數(shù)學教學中存在的問題

（一）教學模式相對落后

就初中生而言，數(shù)學學習成績對綜合學習情況有直接影響，一些教師為了提高學生的學習成績，選擇“滿堂灌”的教學模式，導致學生的探究熱情很難被激發(fā)，在被動學習中形成消極的固化思維。在相對落后的教學模式中，學生的數(shù)學成績雖然有所提升，但是學生對數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的了解和掌握并不充分，這不利于他們進行高階知識的學習，甚至會影響其數(shù)學思維的進一步發(fā)展。

（二）教學準備工作不足

教學準備工作是決定教學質(zhì)量的關鍵因素，一些教師往往只注重數(shù)學公式、性質(zhì)、定理的應用，在備課環(huán)節(jié)未能著眼于學生的思維發(fā)展來設計教案，導致教學準備工作不足，很難幫助學生鞏固學習成果，不能有效培養(yǎng)學生的自主學習能力和解決問題能力。

（三）教學缺少情感交流

初中階段學生正處于思維發(fā)展與身心成長階段，一些教師在教學過程中，只關注學生的成績，未能重視學生的思維以及心理發(fā)展變化，導致師生之間缺乏互動，很難促進教學相長。教師與學生的互動交流減少，會直接影響課堂教學氛圍，進而導致學生難以提起與教師主動溝通的欲望，不利于其個性發(fā)展。

（四）合作教學流于形式

小組合作學習是培養(yǎng)學生團隊意識和提高學習積極性的重要手段，但在具體的實施環(huán)節(jié)，一些教師未能注重強化引導，導致小組合作學習實效性降低。由于部分初中生缺乏良好的自控能力，其在學習中會產(chǎn)生依賴性，甚至會形成依賴性人格，這一點使小組合作教學流于形式。長此以往，課堂教學氛圍看似熱鬧，學生卻無法形成良好的思維品質(zhì)，不利于促進教學質(zhì)量提升。

三、分類討論思想在教學中的滲透意義

（一）提高解題的效率與正確率

分類討論思想能夠幫助初中生在學習數(shù)學知識的過程中，綜合考量各種問題情況，從而進行合理的分析與討論，把握正確解題方向，抓住重點因素進行分析和論證，深入考慮問題可能包含的多種情況，由此提高解題的正確率與效率。在應用分類討論思想的過程中，教師指導學生有意識地對數(shù)學內(nèi)容進行分類和二次研究，甚至能夠在論證、整合探究知識的過程中，增強抽象邏輯思維能力。由于初中數(shù)學知識內(nèi)容相對復雜、抽象，學生在解決數(shù)學問題的過程中，會面臨較大阻礙。因此，在教學中教師要滲透分類討論思想，提升學生的抽象思維能力，使之能夠在教師的指導下分類討論問題，這有利于提升學生學習探究的精準度，促使其高效解決日常生活中常見的數(shù)學問題。

（二）提升思維品質(zhì)與綜合能力

分類討論思想常用于解決概念、法則、定理問題當中，教師科學滲透分類討論思想，能夠為課堂注入活力，讓學生積極主動思考，使之學習思考更具層次性、邏輯性。在分類討論的過程中，初中生可以自覺形成清晰、明確思路，促進思維品質(zhì)提升，也能夠結(jié)合具體情況來進行探討，明確自我學習狀況，結(jié)合問題來進行分類討論，逐步運用所學知識快速、有效地解題，促進思維成長的同時，提高數(shù)學綜合學習能力。

四、分類討論思想在初中數(shù)學教學中的滲透策略

（一）概念學習，培養(yǎng)分類討論意識

分類討論思想可以幫助學生提高問題分析意識，促進數(shù)學學習能力的提升。教師要認識到培養(yǎng)學生分類討論思想的重要性，結(jié)合數(shù)學教材概念知識，創(chuàng)設能夠引發(fā)學生思考的情境，科學滲透分類討論思想，讓學生在情境中討論，不斷啟發(fā)和誘導學生，逐步在學生學習概念的過程中，促進其思維品質(zhì)的提升，讓其能夠明確分類討論思想本質(zhì)，形成優(yōu)秀的分類討論意識。

例如，在講解華師大版初中數(shù)學“一元二次方程”內(nèi)容的過程中，首先，對于一元二次方程一般式中涉及“ [α≠0]”的規(guī)定，教師要引導學生分析“[α=0]”與“[α≠0]”情況下，一元二次方程的變化，讓學生在學習中形成良好的分類討論意識，并明確關于[x]的一元二次方程的限制條件。然后，教師要隱藏“一元二次”四字，引導學生自主分析方程“[mx-（m-1）x-2（3m-1）=0]”

性質(zhì)以及求解方法。讓學生分析經(jīng)過變形的“概念式”，歷經(jīng)對概念中關鍵字詞及補充條件的理解過程，分“[α=0]”與“[α≠0]”兩種情況進行討論，以理解一元二次方程概念。最后，教師要揭示分類討論本質(zhì)，有序、有目的地滲透分類討論思想，讓學生自主建構(gòu)一元一次方程概念知識，提高分類討論意識。在此基礎上，教師要結(jié)合問題中的數(shù)量關系，讓學生列一元一次方程并嘗試求解，學生能夠在建構(gòu)知識和求解的過程中，逐步領悟和接受“分類討論思想”，也理解“分類標準統(tǒng)一，不得重復或遺漏”的重要性。

（二）理論推導，引領分類討論原理

在理論推導中滲透的分類討論思想，可以讓學生在掌握數(shù)學性質(zhì)、公理的基礎上，自主討論數(shù)學原理，掌握法則、定理、公式的推導方法，形成良好的思維品質(zhì)。教師要順應學生的身心發(fā)展規(guī)律，逐步滲透分類討論思想，揭示數(shù)學性質(zhì)，引導學生從不同的角度進行分類討論，從而構(gòu)建有益于學生思維發(fā)展和學習進步的高效數(shù)學課堂， 為分類討論思想的滲透提供不同切入點。

例如，在講解華師大版初中數(shù)學“圓的認識”的過程中，首先，教師可以利用學生熟悉的正比例函數(shù)圖形性質(zhì)等問題，引導學生分類進行討論，使之能夠明白分類討論思想的應用不僅僅局限于特定領域。然后，引申出圓周角定理“一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”，讓學生結(jié)合自己先前對正比例函數(shù)圖形性質(zhì)等問題進行思考，分類討論“根據(jù)圓心相對于圓周角的位置，分三類情況進行推導”的意義，由此激發(fā)學生學習探究的熱情。在學生自主推導的過程中，教師可以利用多媒體直觀為其提供與上述問題相關的三種圖形，讓學生自主畫圖測量、分類討論問題，使之能夠經(jīng)歷由一般到特殊、從特殊到一般的思維過程，體會分類證明的目的和優(yōu)點，深入理解圓周角定理。最后，教師要總結(jié)學生的推導過程，將分類的依據(jù)視為解題的附加條件，引導學生先思考圓心相對于圓周角的不同位置，再根據(jù)不同位置推導“一般情況”，引導學生推導弦切角定理，提高學生的分類討論意識，使之能夠體會分類討論原理的重要性。

（三）單元復習，提煉分類討論思想

單元復習內(nèi)容較多，以分類討論的方式解決實際問題，可以促進復習效率提升，有助于學生提煉分類討論思想，在反思學習過程時，逐步梳理知識結(jié)構(gòu)，形成優(yōu)秀的數(shù)學思維，養(yǎng)成正確的復習習慣。教師要著眼于學生的基礎知識體系構(gòu)建，引導學生分析所學知識中所蘊藏的數(shù)學思想方法，將教材單元小結(jié)變?yōu)椤爸R+分類討論思想”形式的內(nèi)容，揭示單元數(shù)學知識本質(zhì)規(guī)律，幫助學生加以提煉和概括，使之真正掌握分類討論思想的方法。

例如，在講解華師大版初中數(shù)學“解一元一次不等式”的過程中，首先，教師要引導學生復習一元一次不等式的有關概念，展示一元一次不等式的一般解法，為學生提供不同習題讓學生自行求解，并用數(shù)軸表示一元一次不等式的解集。讓學生在獨立思考的基礎上，解決相對簡單的一元一次不等式問題，在畫數(shù)軸的過程中，培養(yǎng)其優(yōu)秀的數(shù)形結(jié)合思想。然后，教師要運用類比法引導學生分析問題“當[x]為何值時，代數(shù)式[x+4]/3與[3x+1]/2的值的差大于1”，使學生通過復習單元知識，懂得解一元一次不等式就是將不等式變形為[“x﹥α（x≥α）]、

[x﹤α（x≤α）”]的過程。最后，教師要引導學生思考一元一次不等式與一元一次方程的聯(lián)系與區(qū)別，在單元復習中提煉分類討論思想，讓學生通過分類思考明白解一元一次不等式的依據(jù)，在類比解方程的基礎上，深入復習解不等式的一般步驟，形成良好的分類討論思想，熟練解決一元一次不等式問題。在課后作業(yè)中，教師可以布置與單元復習相關的解題作業(yè)，密切圍繞“提煉分類思想”，讓學有余力的學生進行深入探究，鼓勵全體學生通過完成作業(yè)，逐步形成良好的分類討論思想，以此加深對所學知識的印象。

（四）解題教學，創(chuàng)新分類討論方法

“問題是學習數(shù)學的出發(fā)點和落腳點，學習數(shù)學就必須要解題。”在解題教學中滲透分類討論思想，有益于鍛煉學生的數(shù)學思維，使之在探究解題規(guī)律的過程中，提高創(chuàng)新思維能力。教師要采用一題多解、一提多問的方法，引導學生進行討論和思考，以培養(yǎng)他們的探究能力。例如，在講解華師大版初中數(shù)學“等腰三角形”的過程中，首先，教師要列舉與等腰三角形可變性相關的討論問題“圖形位置不能確定，該如何求解”，并呈現(xiàn)習題“已知在等腰三角形△[CAB]中，[∠ACB=90°，AC=BC=1，]點[P]在斜邊[AB]上移動（點不與點[A、B]重合），以P為頂點作[∠CPQ=45°]，射線[PQ]交邊[BC]邊與點[Q]。[△CPQ]能否是等腰三角形”，學生會嘗試統(tǒng)一處理，但會遇到較大困難。此時，教師采取一題多問的方式，提出問題“如果[△CPQ]是等腰三角形，試求出[AP]的長，如果不能，簡要說明理由”并引導學生分類討論，幫助其正確求解，使之能夠舉一反三。又如，在講解華師大版初中數(shù)學“二次根式”的過程中，教師為學生呈現(xiàn)一道化簡習題

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，讓學生在“由數(shù)量大小不確定”引起的討論中，回憶二次根式性質(zhì)

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，在分類討論中化一般為特殊，變抽象為具體，將原式化簡

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，討論多種解題情況，得到

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、無解([x]﹤1）”三種結(jié)論，不斷提高學生舉一反三的能力，實現(xiàn)觸類旁通，在應用分類討論思想的過程中，有清晰的解題思路，繼而提高解題效率與正確率。

分類討論思想作為一種重要的數(shù)學思維方式，能夠促進初中生的思維能力提升和素質(zhì)發(fā)展。教師應該深刻認識到分類討論思想對于學生未來創(chuàng)新發(fā)展的積極影響，并在確定教學目標和選擇教學方法時，著重培養(yǎng)學生的分類討論思想意識。同時，在結(jié)合初中生學習特點和身心發(fā)展規(guī)律的基礎上，采用靈活多樣且有效的教學方法進行授課，始終堅持循序漸進的原則，激發(fā)學生獨立思考的意識，使其能夠掌握數(shù)學中的分類討論思想，以此培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和探索精神。

作者單位   甘肅省天水市秦州區(qū)華歧中學

責任編輯：張言