法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾指出：“沒(méi)有正確的方法，即使有眼睛的博學(xué)者也會(huì)像瞎子一樣盲目摸索?！睌?shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是從數(shù)學(xué)知識(shí)提煉出來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)科精髓，是將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁。只有掌握了數(shù)學(xué)方法，才能在看似錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題前從容不迫，得心應(yīng)手。初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)主要是代數(shù)、幾何中的概念、法則、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想和方法。據(jù)此，在初中數(shù)學(xué)中應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)與研究，代數(shù)方面對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法應(yīng)用較多且靈活，而幾何方面相對(duì)欠缺。學(xué)生通過(guò)課堂學(xué)習(xí)，已經(jīng)有了比較明了的幾何概念、幾何性質(zhì)，然而對(duì)這些概念性質(zhì)在具體的題目中如何運(yùn)用卻一知半解，如何找出頭緒，抽絲剝繭，從而順利解出答案，相信這會(huì)讓許多學(xué)生撲朔迷離，應(yīng)對(duì)起來(lái)不知所措。故此，筆者對(duì)幾何教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想方法的滲透作以下研究，以便學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)中更輕松、更清晰。初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，常見(jiàn)的數(shù)學(xué)方法有：方程思想、分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想。

一、方程思想

方程思想主要是從分析題目中的數(shù)量關(guān)系入手，將題目中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過(guò)設(shè)元來(lái)建立方程（或方程組），然后通過(guò)解方程（或方程組）來(lái)達(dá)到解決問(wèn)題的一種思維方式。方程思想解決問(wèn)題的關(guān)鍵是建立方程模型。在初中幾何所涉及的一些線(xiàn)段與角及面積的求解中，基本都具備方程中的等量關(guān)系特征，我們?nèi)裟芨鶕?jù)題意或利用所學(xué)定理、性質(zhì)及圖形中的公共邊、公共角、等高、同底等關(guān)系找出題目中蘊(yùn)含的等量關(guān)系，建立相應(yīng)方程（或方程組），把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，則會(huì)使解題思路更加清晰明了，解決過(guò)程更加簡(jiǎn)便，達(dá)到把復(fù)雜幾何問(wèn)題簡(jiǎn)單化的目的。

例1：如圖，△ABC中，BE與CF交于點(diǎn)O，其中S△BOF=6，S△COE=8，S△BOC=12，求四邊形AEOF的面積。

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我們要求的是四邊形AEOF的面積，而已知的是△BOF、△COE、△BOC的面積。連接AO，將四邊形AEOF分割成兩個(gè)三角形△AOE和△AOF。分別設(shè)S△AOF=x，S△AOE=y，如果能求出x、y的值，那么四邊形AEOF的面積就可求出。而這個(gè)題目的關(guān)鍵點(diǎn)是△ABO與△AOE同高，△AOF與△AOC同高，由此得出方程組：

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解這個(gè)方程組得x=9，y=10，由此得到四邊形AEOF的面積為19。

應(yīng)用方程思想解平面幾何計(jì)算題，不僅可以幫助學(xué)生找到解題的有效途徑，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，更重要的是讓學(xué)生懂得解幾何題時(shí)可以突破幾何推理，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程加以解決，而且可啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用幾何方法與代數(shù)方法相結(jié)合，用化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)突破求解，從而拓展學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和能力。

二、分類(lèi)討論思想

分類(lèi)討論是在處理一些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，把所要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象根據(jù)需要?jiǎng)澐譃槎喾N不同情況，然后對(duì)各種情況加以分類(lèi)，并逐類(lèi)進(jìn)行研究和求解的一種數(shù)學(xué)思想。分類(lèi)討論思想，又稱(chēng)“邏輯化分思想”。分類(lèi)討論思想在初中教學(xué)中占有十分重要的地位，相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性和探索性，它可以將一些復(fù)雜的問(wèn)題分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，還可以提高學(xué)生全面思考問(wèn)題的能力，從而避免“丟值漏解”情況的發(fā)生，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

例2：已知⊙O的直徑為10cm，AB、CD是⊙O的弦，其中AB=6cm，CD=8cm，且AB∥CD，求AB與CD之間的距離。

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根據(jù)題意可分為兩條弦在圓心異側(cè)和同側(cè)兩種情況，結(jié)合垂徑定理和勾股定理計(jì)算得出：兩條弦之間的距離分別為7cm和1cm。

分類(lèi)討論思想的基本步驟為：分析討論對(duì)象—確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)、合理進(jìn)行分類(lèi)（不重復(fù)不遺漏）—逐層分類(lèi)討論、分步歸納—?dú)w納總結(jié)。

在應(yīng)用分類(lèi)討論思想的過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生注意以下幾個(gè)問(wèn)題：1.明確分類(lèi)的對(duì)象是確定的，是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)的。2.分類(lèi)過(guò)程不重復(fù)、不遺漏。3.分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，避免盲目分類(lèi)和主觀(guān)臆測(cè)。4.由易到難，不斷總結(jié)提高，注重簡(jiǎn)化分類(lèi)，逐步優(yōu)化解題過(guò)程。對(duì)于分類(lèi)討論思想的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，教師要逐步滲透，讓學(xué)生反復(fù)總結(jié)和思考，使學(xué)生通過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間的培養(yǎng)，形成分類(lèi)討論的意識(shí)，有效提升學(xué)生思維的縝密性、條理性和靈活性，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)奠定良好基礎(chǔ)。

三、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想，從字面上理解就是把數(shù)學(xué)中的“數(shù)”與“形”有機(jī)結(jié)合起來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想，具體來(lái)說(shuō)，就是將抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀(guān)圖形結(jié)合起來(lái)，把抽象思維與形象思維結(jié)合起來(lái)，通過(guò)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)換來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。如數(shù)軸的引入，就是數(shù)形結(jié)合思想的典范，它對(duì)學(xué)生比較有理數(shù)的大小、相反數(shù)和絕對(duì)值的幾何意義的理解有很大幫助。這種抽象與形象的結(jié)合，有效訓(xùn)練了學(xué)生的思維，有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。使用數(shù)形結(jié)合方法，能使很多問(wèn)題迎刃而解，而且解法便捷。

例3：將邊長(zhǎng)為1的一個(gè)小正方形與邊長(zhǎng)為2的一個(gè)大正方形（如圖所示）連接在一起，要求學(xué)生只能剪兩次，問(wèn)學(xué)生應(yīng)如何裁剪拼裝，才能使原圖形成為一個(gè)新的大正方形?

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一開(kāi)始，大部分學(xué)生都無(wú)從下手，一少部分學(xué)生會(huì)嘗試裁剪拼接，極少有人能在短時(shí)間內(nèi)拼湊好。當(dāng)學(xué)生冷靜下來(lái)后，教師提醒學(xué)生這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)是圖形有變化，而面積不發(fā)生變化，并且最終形成的圖形是一個(gè)正方形。學(xué)生很快分析出：兩個(gè)小正方形的面積和為1+4=5，新拼出的圖形為正方形，面積是5，由此得到新正方形的邊長(zhǎng)為[5]，這樣一來(lái)，我們僅需沿著（圖中所示）邊長(zhǎng)為[5]的線(xiàn)段裁剪即可。

上面這個(gè)問(wèn)題的解決，是我們從圖形“變”中看到了面積的“不變”這一關(guān)鍵點(diǎn)，從“形”的表面變化找到了“數(shù)”這一實(shí)質(zhì)的不變。一個(gè)看似純幾何的問(wèn)題，在“數(shù)”的指引下得到了很好解決，這種由表及里、形中有數(shù)的思想方法，正是“數(shù)形結(jié)合”思想方法的體現(xiàn)。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：“數(shù)與形,本是相倚依,焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué),形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！睌?shù)學(xué)知識(shí)是“有形”的，而數(shù)學(xué)思想方法是“無(wú)形”的。知識(shí)是明線(xiàn)，寫(xiě)在教材里；思想是暗線(xiàn)，體現(xiàn)在知識(shí)與技能的形成過(guò)程中。結(jié)合具體內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法滲透，已成為教師教學(xué)行為中的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。作為數(shù)學(xué)教師，如何調(diào)控自己的行為，讓一明一暗兩條線(xiàn)在課堂中齊頭并進(jìn)，成為課堂教學(xué)的關(guān)鍵。隨著數(shù)學(xué)研究范圍的擴(kuò)大，僅用傳統(tǒng)綜合幾何的方法來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題越來(lái)越困難，因?yàn)樵S多問(wèn)題特別是證明問(wèn)題往往需要高超的技巧才能奏效，而且推演、論證的步驟又顯得相當(dāng)繁難，缺乏一般性的方法，這樣使得幾何學(xué)難以發(fā)展。數(shù)形結(jié)合的思想把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，讓人們更清楚地看清現(xiàn)實(shí)世間的萬(wàn)事萬(wàn)物。

四、轉(zhuǎn)化與化歸思想

在處理一些問(wèn)題時(shí)，有時(shí)直接求解困難重重，我們不得不通過(guò)觀(guān)察、類(lèi)比、分析、聯(lián)想等思維過(guò)程，采用合適的方法將遇到的困難問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使其轉(zhuǎn)化為一個(gè)相對(duì)來(lái)說(shuō)較為熟悉、簡(jiǎn)單的問(wèn)題，然后通過(guò)熟悉、簡(jiǎn)單問(wèn)題的求解達(dá)到解決問(wèn)題的目的，這一方法稱(chēng)為“轉(zhuǎn)化與歸納”?！稗D(zhuǎn)化”是將數(shù)學(xué)命題由一種形式向另一種形式的轉(zhuǎn)換過(guò)程;“化歸”是把待解決的問(wèn)題通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程歸納為一類(lèi)，轉(zhuǎn)化成比較容易解決的問(wèn)題。

在使用轉(zhuǎn)化思想方法時(shí)，應(yīng)注意幾個(gè)基本原則：1.將陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉問(wèn)題，以便于我們運(yùn)用熟悉的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決問(wèn)題。2.將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問(wèn)題，通過(guò)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題，達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的，或者是獲得某種解決問(wèn)題的啟示或依據(jù)。3.將抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直觀(guān)問(wèn)題，就是將比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較直觀(guān)的問(wèn)題來(lái)解決。

例4：常見(jiàn)的代數(shù)問(wèn)題中的“握手問(wèn)題”：有n個(gè)人見(jiàn)面，若兩個(gè)人之間要握手一次，共握手多少次？答案為n（n-1）/2，我們可以利用這一結(jié)果，轉(zhuǎn)化處理如下幾何問(wèn)題：

1.平面內(nèi)有n條直線(xiàn)兩兩相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)？

2.同一平面上畫(huà)n條直線(xiàn)，可以將這個(gè)平面最多分成多少部分？

3.一條直線(xiàn)上的n個(gè)點(diǎn)，以其中任意兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)，共能組成多少條線(xiàn)段？

4.端點(diǎn)的n條射線(xiàn)，共形成多少個(gè)角？

5.一個(gè)n邊形，在確定它的對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)時(shí)，也用到這個(gè)“握手”問(wèn)題。

當(dāng)然，其他的方法，如構(gòu)造（添加輔助線(xiàn)）法、等積（同底等高、等底等高、等底同高）法、對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)、相似等更通俗易懂的方法，在幾何解題中也頻繁用到。

數(shù)學(xué)思想方法是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑，掌握數(shù)學(xué)思想方法能有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用能力，對(duì)學(xué)生的今后發(fā)展具有重要影響。在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)階段性的訓(xùn)練和總結(jié)，不僅提高了學(xué)習(xí)興趣和思維能力，還形成了自己的學(xué)習(xí)方法，大部分學(xué)生做題有章可循，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力明顯得到提升，學(xué)習(xí)興趣也極大提高。

作者單位  陜西省富平縣東上官初級(jí)中學(xué)

責(zé)任編輯：張言