在小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排中，“除法運(yùn)算”的內(nèi)容基本劃分成三個知識組塊，它們分別是“除數(shù)是一位數(shù)的整數(shù)除法”“除數(shù)是兩位數(shù)的整數(shù)除法”“小數(shù)除法”。而“除數(shù)是一位數(shù)的整數(shù)除法”又是另兩個知識組塊的基礎(chǔ)，這一內(nèi)容的知識基礎(chǔ)是表內(nèi)除法（有余數(shù)除法）的筆算、一位數(shù)除兩、三位數(shù)的口算。依據(jù)教材意圖，本課要在原有基礎(chǔ)上實現(xiàn)從“表內(nèi)除法”到“被除數(shù)是兩位數(shù)，除數(shù)是一位數(shù)，商是兩位數(shù)（被除數(shù)十位沒有余數(shù)或有余數(shù)）”的突破。

有意義的教學(xué)研究應(yīng)該源于真實的教學(xué)困惑，源于真實的課堂。在一次教學(xué)自我診斷中，教師對“除數(shù)是一位數(shù)除法的筆算”第一課時進(jìn)行了教學(xué)解析，并由此構(gòu)建出一個從尷尬走入沉思，從沉思走向?qū)嵺`，再從實踐走向思辨的教研話題。在教學(xué)研討中，一位三年級教師回憶了這樣一幕：學(xué)生在嘗試用豎式進(jìn)行計算“48÷4”時，出現(xiàn)了以下兩種寫法：

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當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生對兩種豎式進(jìn)行評價時，學(xué)生更多表示出是對寫法二的支持，許多學(xué)生認(rèn)為寫法一太復(fù)雜、沒必要。其后的過程，便是教師極其艱難地“說服”學(xué)生用第一種寫法，并細(xì)致分析豎式、反復(fù)強(qiáng)調(diào)豎式書寫的格式和順序，但事與愿違。

后面的教學(xué)討論中，我們了解到許多教師都在此教學(xué)中有著“切膚之痛”。于是，我們在教研組對該問題進(jìn)行了深層次思辨。針對教師提出的幾個有爭議的問題，我們教研組經(jīng)過討論達(dá)成了共識。

問題一：除法豎式到底是什么？

共識：除法豎式是一種數(shù)學(xué)的符號語言，具有計算與表達(dá)的雙重功能。

在教學(xué)中，一部分教師對于豎式的教學(xué)，往往停留在將豎式當(dāng)作是一種格式、一種規(guī)定，簡單地告訴給學(xué)生，在這樣的教學(xué)中，豎式只起到了計算的作用，而沒有凸顯它的表達(dá)和顯示功能。

問題二：豎式教學(xué)需要創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境嗎？

共識：需要，情境的最終作用是為學(xué)生符號思維的提升提供物質(zhì)準(zhǔn)備。

具體情境是思維的支柱。情境和操作缺失了，學(xué)生的符號化過程就無法落實。本課教學(xué)的重點(diǎn)是讓學(xué)生突破從“表內(nèi)除法商是一位數(shù)”到“商是兩位數(shù)”的豎式表達(dá)。“除數(shù)是一位數(shù)的除法”中所創(chuàng)設(shè)的“植樹”教學(xué)情境，正是讓學(xué)生經(jīng)歷分兩次的過程，以便學(xué)生能從這樣的操作活動中抽象出數(shù)學(xué)模型，建立起操作活動、分步口算和除法豎式間的對應(yīng)聯(lián)系。

在“筆算除數(shù)是一位數(shù)的除法”教學(xué)中，教師應(yīng)將除法豎式作為一種近似符號化語言，讓學(xué)生在現(xiàn)實情境中提煉數(shù)學(xué)現(xiàn)象、表達(dá)數(shù)學(xué)現(xiàn)象，經(jīng)歷一個較為完整的數(shù)學(xué)抽象與符號表達(dá)的學(xué)習(xí)過程。當(dāng)教學(xué)研究陷入困境時，教師就要進(jìn)行更深層次的教學(xué)思考與更為大膽的教學(xué)假設(shè)。

四年級備課組楊老師提出，可否改變例題的呈現(xiàn)順序，先探究“52÷4”，再學(xué)習(xí)“48÷4”，先呈現(xiàn)十位有余的情況，這樣更有利于學(xué)生根據(jù)自己的口算與實物操作的經(jīng)驗，對豎式?jīng)]能表達(dá)出“第一次分后有余”提出質(zhì)疑，會讓學(xué)生產(chǎn)生正確的豎式表達(dá)的需要。

我們的教學(xué)思考行進(jìn)在了很有可能發(fā)生重大變化的拐點(diǎn)上，可以向左走，也可以向右走，可能使我們的教學(xué)發(fā)展向上升，也可能導(dǎo)致我們的教學(xué)研究向下墜。兩種不同的教學(xué)順序，誰主浮沉？面對拐點(diǎn)，我們的選擇便是實踐，以學(xué)生的學(xué)習(xí)方式來討論教學(xué)方式，在實踐中尋找教學(xué)順序與學(xué)生學(xué)習(xí)體驗得以平衡的支點(diǎn)。

我們首先對三年級各班學(xué)生就學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力、算理的理解水平、前期的知識準(zhǔn)備進(jìn)行了前測，選擇兩個知識水平與學(xué)習(xí)能力相近的班級進(jìn)行實驗。同時，我們選擇了兩位教齡相同、教學(xué)水平也相當(dāng)?shù)那嗄杲處焻⑴c教學(xué)實施。另外，為了保證對學(xué)生數(shù)學(xué)思維信息的全面收集，教研組組織了團(tuán)隊現(xiàn)場觀測和課后正確率統(tǒng)計，從兩方面對課堂進(jìn)行全面的觀察與測量。

1.算理體驗——從“隔岸觀火”到“入乎其內(nèi)”

掌握算法和探究算理是計算教學(xué)的兩大任務(wù)，算法是解決問題的操作程序，算理是算法賴以成立的數(shù)學(xué)原理。在“先探究48÷4”中，學(xué)生對于算理的理解相對比較牽強(qiáng)，在課后訪問中我們發(fā)現(xiàn)，仍有許多孩子堅持認(rèn)為式①也能表達(dá)“分兩次”的過程，而且書寫更加簡便。而在“先探究52÷4”學(xué)生就不得不直面“第一次分后有余”的茫然。式①即

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［教學(xué)現(xiàn)場］

片斷：比較下面兩個除法豎式，哪種更能合理地表現(xiàn)我們剛才口算與分小棒的過程？

生1：從書寫上看，我覺得第一個豎式更簡便，我也能看懂。

生2：我不能從第一個豎式中看到我們剛才分的過程。

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生3：我覺得第二個豎式第一層就是第一次分的情況，第二層就是第二次分的情況。

生4：是的，每一層都能讓我們看出有多少，分走了多少，還有沒有分完。第二個豎式更能表達(dá)我們分的過程。

生5：我支持第一個豎式，我可以把第一次分的過程記在心里，這樣也很簡便。

（課堂上估計大約有三十幾位學(xué)生認(rèn)可了第二個豎式的寫法，有十余位學(xué)生仍然堅持第一個豎式的寫法）

從上面的片斷中，我們不難看出，“先探究52÷4”，把學(xué)生拋置到一個有難度的思維空間，學(xué)生會思考用更合理的途徑去發(fā)現(xiàn)算理、理解算理。雖然，當(dāng)學(xué)生要把更為抽象的豎式計算順序與形象具體的分小棒過程建立聯(lián)系，需要延長豎式展現(xiàn)與辨析的時間與過程，但磨刀不誤砍柴工，實踐證明，學(xué)生從豎式計算、口算與操作過程的整體感知出發(fā)，更有利于達(dá)成豎式計算算理與實物操作過程的正確性。

2.算法掌握——從“食而不化”到“水到渠成”

除法豎式計算時是從高位除起，這和筆算加、減、乘法的計算順序是不同的。在“先探究48÷4”的口算與分小棒的過程中，可以先算“40÷4”，亦可以先算“8÷4”，不能凸顯出“從高位除起”的必要性。學(xué)生對于“從高位除起”的算法，只能囫圇吞棗，機(jī)械記憶，最終食而不化。而當(dāng)我們調(diào)換了教學(xué)順序后，這一尷尬很快得到化解。

［教學(xué)現(xiàn)場］

片斷：用分小棒來操作表示“52÷4”。

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平均每班種多少棵樹苗？

教師請出一個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)程度中等的學(xué)生。拿到52根小棒時，他首先拿出2根試圖分給同學(xué)，因為不夠分，他馬上就停住了，又打算從其中一捆中抽出2根再分。

同學(xué)們在下面提示：“先分大捆的，先分大捆的，這樣方便！”

他隨即頓悟似的拿出4捆，平均分給每個人，再把剩余的一捆打開與2根合起來，平均分給了4個人。

相對于“先探究48÷4”的教學(xué)中，因為十位與個位都夠除，所以學(xué)生對于從“十位除起”只能以機(jī)械的方式記憶。而學(xué)生在“先探究52÷4”的教學(xué)過程中，出現(xiàn)了個位不夠分的矛盾后，他們會表現(xiàn)出對“先從高位除起”的認(rèn)同感。

符號語言的抽象應(yīng)該是顯性操作活動和內(nèi)隱思維活動的統(tǒng)一。在對學(xué)生的思維軌跡進(jìn)行記錄與分析中，我們發(fā)現(xiàn)“先探究52÷4”，給學(xué)生符號化的過程增加了障礙，更有利于學(xué)生實現(xiàn)算理直觀到算法抽象的正確遷移，使學(xué)生在操作中能有所思、有所感、有所悟、有所得。

我們的課例研究起于思考，收于實踐。經(jīng)歷了教材研讀、現(xiàn)場觀察和數(shù)據(jù)解構(gòu)的過程，當(dāng)所有觀點(diǎn)交互碰撞、所有爭鳴趨于平衡后，我們沉淀下更為深入、更接近于本質(zhì)的思考，尋覓到了新的教學(xué)智慧：教學(xué)“52÷4”時，在學(xué)生符號語言的理解上具有思維的優(yōu)勢，然而在學(xué)生正確書寫豎式的達(dá)成率方面，并不存在顯著優(yōu)勢。因此，教師需要在理念處理上保持“同構(gòu)”——要讓學(xué)生在經(jīng)歷符號語言的抽象過程。在教學(xué)實施中，自主選擇適合自己的、更適合學(xué)生、更適合教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)方式和行為，靈活地根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與學(xué)習(xí)基礎(chǔ)選擇“異序”。

新的代數(shù)課程，從對運(yùn)算的強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)向更加關(guān)注學(xué)生能否用數(shù)學(xué)的眼光把實際的情境數(shù)學(xué)化、用數(shù)學(xué)的方法解決實際問題。符號是代數(shù)不同于算術(shù)的典型特征，當(dāng)學(xué)生從對數(shù)的思考、式的思考開始向?qū)Ψ柕乃伎嫁D(zhuǎn)變，也就意味著他們開始由算術(shù)思維向代數(shù)思維轉(zhuǎn)變。因此，運(yùn)用各種教學(xué)途徑，幫助學(xué)生理解符號表示和符號運(yùn)算，可以為學(xué)生的能力發(fā)展提供一個堅實平臺。唯有這樣，我們的教學(xué)研究才能真正體現(xiàn)出它的生命張力和再生力。

作者單位  西安市未央?yún)^(qū)阿房路一校



責(zé)任編輯：張言