教育的最終目的是什么？是培養(yǎng)鸚鵡學(xué)舌的模仿者，還是培養(yǎng)能夠獨(dú)立思考的創(chuàng)造者？作為一線教師，對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)有著至關(guān)重要的作用。隨著新課改的進(jìn)一步推進(jìn)，小學(xué)數(shù)學(xué)教師的主要任務(wù)不僅僅是教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，而是更側(cè)重學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)思維也就是人們通常所指的數(shù)學(xué)思維能力，即能夠用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。那么，小學(xué)數(shù)學(xué)思維的內(nèi)涵是什么？小學(xué)數(shù)學(xué)思維包括哪些內(nèi)容？如何提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維呢？

一、提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性和嚴(yán)謹(jǐn)性

（一）提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性

數(shù)學(xué)為人們提供了一種理解與解釋現(xiàn)實(shí)世界的思考方式。在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為：運(yùn)算能力、推理意識(shí)或推理能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，就要從培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力入手，引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)知識(shí)的表面現(xiàn)象看本質(zhì)，學(xué)會(huì)全面、辯證地思考問(wèn)題，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。對(duì)于易混淆的概念、性質(zhì)等，教師可以讓學(xué)生通過(guò)比較的方式，理清知識(shí)之間的關(guān)系與區(qū)別，深刻理解所學(xué)知識(shí)，掌握知識(shí)的要領(lǐng)和核心，建構(gòu)良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，養(yǎng)成探尋知識(shí)本質(zhì)的良好思維習(xí)慣。

例如，在教學(xué)容積與體積相關(guān)知識(shí)時(shí)，很多學(xué)生認(rèn)為容積就是體積。其實(shí)，體積與容積是兩個(gè)完全不同的概念，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，對(duì)這兩個(gè)概念容易混淆，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)認(rèn)知困惑。為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)這兩個(gè)概念的理解，筆者帶了1個(gè)長(zhǎng)方體木盒和1個(gè)長(zhǎng)方體紙盒走進(jìn)教室，這2個(gè)盒子從表面上看大小相仿，筆者問(wèn)道：“這2個(gè)盒子的體積一樣大嗎？可以怎樣進(jìn)行比較？”此時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)了爭(zhēng)議，有的學(xué)生認(rèn)為體積相等，也有學(xué)生認(rèn)為不相等。筆者接著問(wèn)道：“如何解決這樣的問(wèn)題呢？”有學(xué)生提議可以從外面分別測(cè)量它們的長(zhǎng)、寬、高，計(jì)算體積后進(jìn)行比較。筆者追問(wèn)道：“為什么要從外面量？”學(xué)生認(rèn)為物體所占空間的大小是它的體積，所以要從外面量。筆者肯定了學(xué)生的想法，讓學(xué)生測(cè)量后計(jì)算它們的體積。學(xué)生通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)它們的體積是相等的。在此基礎(chǔ)上，筆者又問(wèn)道：“它們的體積相等，能否確定它們的容積也相等呢？”學(xué)生思考后，認(rèn)為容積不相等，因?yàn)槟竞械谋诒燃埡械谋谝?，裝的東西自然少一些，容積肯定小。筆者沒(méi)有“鳴金收兵”，而是繼續(xù)追問(wèn)：“怎樣計(jì)算它們的容積？”學(xué)生思考后，認(rèn)為應(yīng)該從盒子里面分別量出它們的長(zhǎng)、寬、高后再計(jì)算，并且著重強(qiáng)調(diào)了從“里面量”。于是，筆者讓學(xué)生進(jìn)行了操作、計(jì)算，學(xué)生發(fā)現(xiàn)容積小于體積，木盒的容積也小于紙盒的容積。

可見，教師針對(duì)學(xué)生易混淆的“體積”和“容積”的概念，從學(xué)生熟悉的事物入手，讓學(xué)生動(dòng)手操作，了解概念的本質(zhì)：計(jì)算物體的體積要從“從外面量”，計(jì)算容積要“從里面量”。

（二）提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)性很強(qiáng)的學(xué)科，推理與論證過(guò)程非常嚴(yán)密。在課堂教學(xué)的過(guò)程中，教師要培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，就要從培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真思考的習(xí)慣開始。小學(xué)階段的學(xué)生，形象思維占據(jù)主要位置，抽象思維正處于形成和發(fā)展的階段，使得他們?cè)阱塾螖?shù)學(xué)海洋時(shí)，難免會(huì)出現(xiàn)“小偏差”：有時(shí)只注意表面，而忽略了其本質(zhì)內(nèi)涵；有時(shí)只關(guān)注結(jié)果，而忽略了過(guò)程；有時(shí)只注意一般的情況，而忽略了特殊的情況。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)將培育學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)思維當(dāng)作核心要?jiǎng)?wù)，引領(lǐng)學(xué)生洞悉問(wèn)題本質(zhì)，逐漸養(yǎng)成“言必有據(jù)、行必有理”的好習(xí)慣。

有這樣一道題：1、2、3、4這幾個(gè)數(shù)字能組成哪些不同的四位數(shù)？面對(duì)這樣的題目，很多學(xué)生寫了兩三個(gè)就草草了事了，還有學(xué)生列出的數(shù)忽大忽小，毫無(wú)順序可言?？梢?，學(xué)生在答題過(guò)程中，思維是混沌的，想到哪寫到哪，沒(méi)有按照一定順序去寫。于是，筆者先將學(xué)生說(shuō)出的數(shù)寫到黑板上，讓學(xué)生認(rèn)真觀察其中的規(guī)律。通過(guò)觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)以1開頭的數(shù)有6個(gè)，以2開頭的數(shù)有6個(gè)，以3開頭的數(shù)有6個(gè)，以4開頭的數(shù)有6個(gè)。在此基礎(chǔ)上，筆者讓學(xué)生思考：怎樣才能將這些數(shù)有序地寫下來(lái)？學(xué)生發(fā)現(xiàn)每個(gè)數(shù)字排在千位時(shí)，都可以寫出6個(gè)不同的4位數(shù)，只要根據(jù)從小到大或從大到小的順序組數(shù)，就能做到不遺漏、不重復(fù)。

數(shù)學(xué)課堂是培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的重要場(chǎng)所，教師應(yīng)利用好這個(gè)主陣地，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，促使學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)思維的意識(shí)，提升課堂教學(xué)效果。

二、提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性和批判性

（一）提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性

數(shù)學(xué)是一門靈活性很強(qiáng)的學(xué)科，對(duì)學(xué)生思維的靈活性要求較高。但小學(xué)階段的學(xué)生，認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)薄弱，經(jīng)常被知識(shí)的表面現(xiàn)象所迷惑，容易形成思維定式。思維靈活的人才會(huì)活學(xué)活用、融會(huì)貫通等。學(xué)生的思維一旦僵化，解決問(wèn)題就會(huì)非常困難。因此，在課堂教學(xué)過(guò)程中，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，讓他們沖破思維定式，跳出原有模式的束縛和限制，能采取有效的策略隨機(jī)處理問(wèn)題。

例如，在教學(xué)圓柱和圓錐的體積后，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)了運(yùn)用計(jì)算方法求規(guī)則物體的體積。為了拓寬學(xué)生的眼界，在課堂教學(xué)中，筆者出示了一個(gè)桃子，問(wèn)道：“這個(gè)桃子的體積是多少？”一石激起千層浪，因?yàn)樘易硬皇情L(zhǎng)方體、正方體，也不是圓柱體、圓錐體，學(xué)生無(wú)法運(yùn)用相關(guān)體積計(jì)算公式得出結(jié)果。于是，筆者為學(xué)生講了曹沖稱象的故事，讓學(xué)生明白轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的策略之一，隨后追問(wèn)學(xué)生：“通過(guò)這個(gè)故事，你受到了什么啟發(fā)？”此時(shí)，有學(xué)生提議可以在量杯中放一些水，記住量杯的刻度，再將桃子浸入其中，觀察量杯的刻度，兩次的刻度差就是桃子的體積。這個(gè)方法立即得到了其他學(xué)生的肯定，學(xué)生明白了不通過(guò)計(jì)算也有獲悉物體體積的方法。放學(xué)后，學(xué)生都積極動(dòng)手操作了，最終確定了這個(gè)方法的可行性。

在教學(xué)相關(guān)知識(shí)后，筆者并沒(méi)有設(shè)定固定類型的題目讓學(xué)生機(jī)械解答，而是從不同角度引入生活問(wèn)題，讓學(xué)生克服思維定式的影響，轉(zhuǎn)變思維思考問(wèn)題、解決問(wèn)題，更好地提升自己思維的靈活性。

（二）提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的批判性

數(shù)學(xué)思維的批判性就是學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，善于獨(dú)立、嚴(yán)格、客觀地評(píng)判自己和他人，有助于培養(yǎng)學(xué)生的求異思維和創(chuàng)造性意識(shí)。但在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂中，很多教師對(duì)學(xué)生思維的深刻性、嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性等非常重視，但對(duì)學(xué)生思維的批判性卻關(guān)注不夠，顯然這種做法是不對(duì)的。因?yàn)樵谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)、生活中，具有批判性思維的人才能客觀、全面地認(rèn)識(shí)事物，取其精華，去其糟粕。愛因斯坦曾說(shuō)過(guò)：“要是沒(méi)有獨(dú)立思考和獨(dú)立判斷的有創(chuàng)造能力的個(gè)人，社會(huì)的向上發(fā)展就不可想象?！笨梢姡谌藗冋J(rèn)知世界、獲取知識(shí)的過(guò)程中，批判性思維具有不可替代的作用。批判性思維強(qiáng)的學(xué)生無(wú)論是在推斷、估計(jì)過(guò)程還是在自主學(xué)習(xí)過(guò)程中，甄別、判定、評(píng)價(jià)的能力都很強(qiáng)。因此，在日常教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)幫助學(xué)生打破思維的盲從性，廢除答案“唯一”論，讓學(xué)生學(xué)會(huì)反思，學(xué)會(huì)創(chuàng)造，以此促進(jìn)學(xué)生批判性思維的形成。

例如，在教學(xué)長(zhǎng)方體和正方體的體積時(shí)，筆者出示了這樣的一道題：“一個(gè)集裝箱長(zhǎng)11米，寬6米，高5米，如果放入棱長(zhǎng)2米的正方體貨箱，一共可以放多少箱？”題目出示后，很多學(xué)生是這樣列式解答的：11×6×5=330（立方米），這算式算的是集裝箱的容積；2×2×2=8（立方米），算的是正方體貨箱的體積；330÷8=41.25（個(gè)）≈41（個(gè)），算的是可以放多少箱。學(xué)生最終認(rèn)為可以放41個(gè)貨箱，因?yàn)?.25個(gè)不能算是一個(gè)整貨箱。學(xué)生在解答題目的過(guò)程中也確實(shí)考慮了一些實(shí)際情況，懂得使用“去尾法”處理結(jié)果，但是最終的結(jié)果真如學(xué)生想的那樣嗎？筆者并沒(méi)有進(jìn)行評(píng)價(jià)，而是引導(dǎo)學(xué)生想辦法驗(yàn)證自己的結(jié)果。此時(shí)，有學(xué)生想到可以用集裝箱3條邊的長(zhǎng)度和正方體貨箱棱長(zhǎng)的關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證：11÷2=5（個(gè)）……1（米），6÷2=3（個(gè)），5÷2=2（個(gè)）……1（米），5×3×2=30（個(gè)）。驗(yàn)證后，很多學(xué)生都非常驚訝，因?yàn)橛?jì)算結(jié)果和驗(yàn)證結(jié)果差距很大?？梢?，原先的計(jì)算方法是不正確的。這種教學(xué)方式可以讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，自己對(duì)原先的算法進(jìn)行評(píng)判，思考原先的方法在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中存在的局限性，這對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的批判性有著重要的作用。

三、提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣闊性和獨(dú)創(chuàng)性

（一）提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣闊性

數(shù)學(xué)思維的廣闊性主要表現(xiàn)在從不同角度、方向，用多種方法解決問(wèn)題，但一直以來(lái)很多學(xué)生容易出現(xiàn)思維定式，在這個(gè)方面表現(xiàn)得非常欠缺。加之在以往的教學(xué)中，很多教師采用重結(jié)果輕過(guò)程的方法弱化了知識(shí)的形成和發(fā)展過(guò)程，學(xué)生思維被完全禁錮在課堂中，無(wú)法從課內(nèi)向課外延伸。因此，教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性，讓學(xué)生學(xué)會(huì)處理日常生活中的實(shí)際問(wèn)題，學(xué)會(huì)從不同途徑、不同角度，用不同方法解答問(wèn)題。

例如，在教學(xué)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，筆者給出這樣一道題：“汽車從A地開往B地，已經(jīng)行駛了210千米，剩下的路程占全程的[47]，全程共有多少千米？”題目出示后，筆者鼓勵(lì)學(xué)生認(rèn)真分析題意，嘗試運(yùn)用不同的方法進(jìn)行解答。學(xué)生經(jīng)過(guò)思考，給出的解法有以下幾種。

解法1：運(yùn)用方程進(jìn)行解答，根據(jù)題目中的等量關(guān)系“全程－剩下的路程=已經(jīng)行駛的路程”，設(shè)全程共有x千米，x－[47]x=210（千米），解得x=490（千米）。

解法2：運(yùn)用分率的知識(shí)進(jìn)行解答，根據(jù)條件“剩下的路程占全程的[47]”得出“已經(jīng)行駛的路程占全程的[37]”，對(duì)應(yīng)的路程是210千米，210÷（1－[47]）=490（千米）。

解法3：將題目中“剩下的路程占全程的[47]”變換成“剩下的路程與全程的比是4∶7”，可以得出“已經(jīng)行駛的路程與總路程的比是3∶7”，然后運(yùn)用比例分配的知識(shí)進(jìn)行解答，得出210÷3×7=490（千米）。

可見，同樣一道題目，在經(jīng)過(guò)筆者的鼓勵(lì)下，學(xué)生認(rèn)真思考后用不同的方法進(jìn)行了解答。但此時(shí)筆者并沒(méi)有“鳴金收兵”，而是讓學(xué)生比較這幾種解答方法，在比較中了解每種解答方法的優(yōu)越性。這樣學(xué)生的思維就能得到拓展和提升，他們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)中就會(huì)運(yùn)用適合自己的方法解答實(shí)際問(wèn)題。

（二）提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的獨(dú)創(chuàng)性

思維的獨(dú)創(chuàng)性是指學(xué)生獨(dú)立思考，創(chuàng)造出有價(jià)值、新穎的成分，其核心是“創(chuàng)造”。創(chuàng)造是國(guó)家發(fā)展的動(dòng)力，也是民族的希望，所以從小培養(yǎng)學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性顯得尤為重要。小學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性表現(xiàn)在解決問(wèn)題的過(guò)程中不是運(yùn)用課本所學(xué)、教師所講的方法進(jìn)行，而是自己獨(dú)立思考后形成的新方法。在以往的教學(xué)中，很多教師唯“結(jié)果論”，提倡“一題一解”，這在無(wú)形之中就會(huì)禁錮學(xué)生的思維，不利于發(fā)展學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要為學(xué)生提供自主探索的時(shí)間和空間，還要對(duì)學(xué)生新奇的、合理的想法給予鼓勵(lì)和肯定，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性。

例如，在教學(xué)2、3、5的倍數(shù)相關(guān)知識(shí)時(shí)，筆者為學(xué)生設(shè)計(jì)了這樣一道題：“ 3個(gè)連續(xù)的奇數(shù)或者偶數(shù)的和，是3的倍數(shù)嗎？想一想，算一算，和自己的同桌進(jìn)行交流?！笨吹竭@道題，學(xué)生立即開始了計(jì)算，他們寫出的奇數(shù)算式有：1＋3＋5=9、11＋13＋15=39、15＋17＋19=51……寫出的偶數(shù)算式有：2＋4＋6=12、8＋10＋12=30、14＋16＋18=48……每個(gè)學(xué)生都寫出了很多算式并進(jìn)行了驗(yàn)證，最終得出了“3個(gè)連續(xù)的奇數(shù)或偶數(shù)的和都是3的倍數(shù)”的結(jié)果。盡管學(xué)生得出了最終的結(jié)論，但過(guò)程非常復(fù)雜。但筆者發(fā)現(xiàn)有一個(gè)學(xué)生早就完成了，于是讓他將驗(yàn)證方法放到了展示臺(tái)上，只見他就寫了兩道算式：（n－2）＋n＋（n＋2）=3n（n表示奇數(shù)），3n肯定是3的倍數(shù)；（n－2）＋n＋（n＋2）=3n（n表示偶數(shù)），3n肯定是3的倍數(shù)。由此可見，在教學(xué)中，有學(xué)生只運(yùn)用了兩道含有字母的算式就涵蓋了其他學(xué)生所寫的所有情況，他的思維非常具有獨(dú)創(chuàng)性。

總之，數(shù)學(xué)教師不僅要傳授學(xué)生知識(shí)，還要發(fā)展學(xué)生的思維。良好的思維品質(zhì)，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，學(xué)生思維能力強(qiáng)，才能更好地探索新知，內(nèi)化新知，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提升核心素養(yǎng)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的思維特點(diǎn)和“最近發(fā)展區(qū)”，最大限度地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的欲望，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)思考，更好地提升思維品質(zhì)，更好地發(fā)展他們的判斷力、辨析力、表達(dá)力和創(chuàng)造力。

作者單位   陜西省神木市第一小學(xué)

責(zé)任編輯：張言